فصل مجموعه الگو و دنباله درس اول درس دوم متمم یک مجموعه درس سوم الگو و دنباله درس چهارم

Transcript

1 فصل مجموعه الگو و دنباله آالداغالر یا کوه های رنگی در شهرستان ماه نشان استان زنجان درس اول مجموعه های متناهی و نامتناهی درس دوم متمم یک مجموعه درس سوم الگو و دنباله درس چهارم دنباله های حسابی و هندسی

2 فصل : مجموعه الگو و دنباله درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی جورج کانتور مجموعه های اعداد انسان در طول تاریخ برحسب نیاز خود مجموعه های مختلفی از اعداد را مورد استفاده قرار داده است. برخی از این مجموعه ها که در سال های قبل با آنها آشنا شدیم به شرح زیر هستند: {, 4 },,, = N :مجموعه اعداد طبیعی {, 4 } 0,,,, = W :مجموعه اعداد حسابی {, -, 0,,, -,, } = Z :مجموعه اعداد صحیح { 0 n :Q = } m m, n Z, مجموعه اعداد گویا n مجموعه اعدادی که نتوان آنها را بهصورت = Q: مجموعه اعداد گنگ نسبت دو عدد صحیح نمایش داد. Q : R = Q مجموعه اعداد حقیقی لطفعلی عسکرزاده مجموعه یکی از اساسیترین مفاهیم ریاضی است که بسیاری از نظریههای دیگر ریاضی در یک قرن اخیر بر مبنای آن پایهگذاری یا سازماندهی شدهاند. مطالعات جدی در مورد مجموعهها با کار جورج کانتور در سال 870 آغاز میشود. از تعمیم نظریه کالسیک مجموعهها مجموعههای فازی حاصل میشود که در منطق فازی کاربرد دارد. این نظریه مدرن از مجموعهها توسط پروفسور لطفعلی عسکرزاده ابداع گردیده است. همانطور که مالحظه میشود رابطه زیرمجموعه بودن بین این مجموعهها به شکل N W Z Q R برقرار است. بهعبارت دیگر تمام مجموعههای اعدادی که تاکنون با آنها آشنا شدهایم زیرمجموعههایی از اعداد حقیقی هستند. در نتیجه هر عدد دلخواهی که درنظر بگیریم باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و همچنین هر نقطه روی این محور نشاندهنده یک عدد حقیقی مشخص است. کاردرکالس الف( مجموعه R - Q چه نام دارد آن را روی شکل مقابل هاشور بزنید و دو عضو دلخواه از آن را در ناحیه هاشورخورده بنویسید. ب( دو عددگویا مثال بزنید که عدد صحیح نباشند و آنها را روی شکل مقابل در محل مناسب بنویسید. پ( اعداد زیر را بر روی شکل و در محل مناسب بنویسید. π 5 7, 0, 00,, / 6, 5,, 9 ت( مجموعه اعداد صحیح غیر حسابی را با نمایش اعضا بنویسید.} } = Z-W ث( مجموعه -W N چند عضو دارد N Z Q R

3 درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی هریک از اعداد داده شده را در یکی از جاهای مشخص شده روی محور بنویسید. کدام یک از این شش عدد گنگ هستند زیر آنها خط بکشید. /45, 7, 6, -4/9, π, بازه ها -5 -/ در اینجا گونه دیگری از زیرمجموعههای R را درنظر میگیریم. فرض کنید A مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی بین - و به همراه خود این دو عدد باشد. یعنی } x -.A=}x R اعضای A را روی محور زیر با رنگ کردن مشخص کنید. آیا می توان تمام اعضای A را فهرست کرد آیا می توان اولین عدد حقیقی بعد از - را مشخص کرد 0 زیرمجموعه هایی از R که شامل تمام اعداد حقیقی بین دو عدد مشخص می باشند را»بازه«یا»فاصله«می نامیم. بازه ها در ریاضیات از اهمیت نسبتا زیادی برخوردارند و ما هم در برخی از فصل های بعدی این کتاب به دفعات با آنها سرو کار خواهیم داشت. از این رو شایسته است که برای نشان دادن آنها از نماد ساده تری استفاده شود. در این راستا A را با نماد ], -[ نشان می دهیم و آن را بازه بسته از - تا می نامیم. حال اگر نقاط ابتدایی و انتهایی این بازه یعنی - و را از A حذف کنیم آنگاه مجموعه ای مانند }<x<- B=}x R به دست می آید که آن را بازه باز بین - و می نامیم و با نماد ), -( نشان می دهیم. به طور خالصه: - x { : A = ]-,[ = }x R بازه بسته بین - و ->x>{ : B = )-,( = }x R بازه باز بین - و بازه های نیم باز هم به روش مشابه تعریف می شوند فعالیت اگر a و b دو عدد حقیقی دلخواه باشند به طوری که a<b آنگاه جدول زیر را کامل کنید: نمایش هندسی نمایش مجموعه ای بازه نوع بازه باز }x R a > x > b{ بسته a b نیم باز ]a,b( نیم باز )a,b[ }x R > x 5{ - 0

4 فصل : مجموعه الگو و دنباله گاهی تمام اعداد حقیقی مثال بزرگتر از موردنظر است. بهعنوان مثال می دانیم که مجموعه جواب نامعادله > 4 x بهصورت }>x C {= x R می باشد. اعضای C را روی محور زیر نشان دهید. 0 آیا می توانید C را به صورت یک بازه بنویسید برای اینکه این مجموعه را به شکل بازه بنویسیم از نماد + )بخوانید: مثبت بینهایت( استفاده میکنیم. مجموعه C را در قالب بازه با نماد =D { x R نمایش بازه ای به صورت مجموعه ای مثل } x و - اعداد حقیقی نیستند. در سال های آینده با این دو نماد بیشتر آشنا خواهیم شد. ( +, ( نمایش می دهیم که یک بازه باز محسوب می شود. به همین ترتیب برای ], ( خواهد بود که یک بازه نیم باز می باشد. توجه داریم که + فعالیت اگر a عدد حقیقی دلخواهی باشد جدول زیر را کامل کنید. نمایش هندسی نمایش مجموعه ای بازه نوع بازه } x R x < a{ نیم باز [ a,+ ) a (,a) R } x R x > 5{ 0 مثال 4 میخواهیم اجتماع و اشتراک دو بازه ]4, -(=A و ) +,( =B را بهدست آوریم. نمایش هندسی هر دو بازه را مطابق شکل روی یک A B محور رسم میکنیم از روی شکل دیده میشود که A B برابر است با مجموعه تمام اعداد حقیقی بزرگتر از) - ) یعنی: )-,4[ ),+ ( =)-,+ ( همچنین با توجه به شکل مالحظه میشود که A B برابر است با مجموعه تمام اعداد حقیقی بین و 4 به همراه خود عدد 4 یعنی: )-,4[ ),+ ( =),4[ توضیح دهید که چرا. A B

5 کار در کالس درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی درستی یا نادرستی عبارتهای زیر را مشخص کنید: }-,0{ - )ث,0{ - }- )ت )-,0[ 0 )پ )-,0[ - )ب,( ] 4 )الف )0,( )د ),5[ = ],5( )خ )-7,0[ )ح,( ]- }0,{ )چ )-,( ]-,[ )ج هر یک از اعداد زیر عضو یک یا چندتا از بازههای داده شده هستند. هر عدد را به بازه یا بازه های نظیر آن وصل کنید /0*0 0/ ],4[ )-, -4( ]-,0( ],+ ( ), [ )-,( نمایش هندسی دو بازه ] 4-(, = A و ] -(, = A را روی محور زیر رسم کنید و سپس حاصل عبارت های زیر را بنویسید. ( B - A ت ( A - B پ ( A B بB A )الف 0 مجموعه های متناهی و نامتناهی فعالیت فرض کنید A مجموعه اعداد طبیعی کمتر از 4 و B مجموعه اعداد صحیح کمتر از 4 باشد. } = A { الف( این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید. } = B { ب( A چند عضو دارد پ( در مورد تعداد اعضای B چه می توان گفت مجموعه هایی مانند A که تعداد اعضای آنها یک عدد حسابی می باشد را مجموعه های متناهی )با پایان( می نامیم. با توجه به مطلب فوق B یک مجموعه متناهی نیست. زیرا نمی توان تعداد اعضای آن را با یک عدد بیان کرد. در واقع تعداد اعضای این مجموعه از هر عددی که در نظر بگیریم بزرگ تر است. چنین مجموعه هایی را مجموعه های نامتناهی )بی پایان( می نامیم. 5

6 فصل : مجموعه الگو و دنباله کار در کالس متناهی یا نامتناهی بودن هر یک از مجموعه های زیر را مشخص کنید. در مورد مجموعه های متناهی سعی کنید تعداد دقیق یا تقریبی اعضای هر یک از آنها را بنویسید. مجموعه نامتناهی متناهی تعداد اعضا )در مورد مجموعه های متناهی( جنگل های آمازون آمازون که به ریههای زمین مشهور است جنگل بسیار بزرگی در شمال آمریکای جنوبی است و بدلیل همین وسعت به آن جنگلهای آمازون گفته میشود. حدود 60% این جنگل در خاک برزیل قرار دارد همچنین بخشهایی از آن هم در کشورهای پرو اکوادور گویان کلمبیا ونزوئال بولیوی و سورینام واقع شده است. در واقع این جنگل بیش از سه برابر خاک کشور ما وسعت دارد. رودخانه آمازون با طول حدود 6500 کیلومتر به عنوان پرآبترین رودخانه دنیا که 5% آب شیرین جهان را در خود جای میدهد نیز از دل این جنگل عبور میکند. نتیجه یک مطالعه بزرگ که مدت 0 سال به طول انجامید نشان میدهد که 90/000/000/000 اصله درخت در 6000 گونه مختلف در جنگلهای آمازون وجود دارد. با اینحساب سهم هر فرد دنیا از این جنگل چند درخت میشود! با این وجود مجموعه درختهای جنگل های آمازون یک مجموعه متناهی محسوب میشود یا نامتناهی مجموعه اعداد اول یک رقمی مجموعه انسان های روی زمین مجموعه اعداد طبیعی فرد مجموعه سلول های عصبی مغز یک انسان مجموعه تمام دایره های به مرکز مبدأ مختصات مجموعه دانش آموزان مدرسه شما مجموعه اعداد طبیعی ده رقمی مجموعه درخت های جنگل های آمازون مجموعه کسرهای مثبت با صورت یک مجموعه مضرب های طبیعی عدد 0 بازه ) و 0 ( مجموعهمولکولهایموجود در یک مول مشخص از آب دو مجموعه متناهی نام ببرید. دو مجموعه نامتناهی مثال بزنید که یکی از آنها زیرمجموعه دیگری باشد. 4 دو مجموعه نامتناهی مثل A و B مثال بزنید که A B بوده و B A تک عضوی باشد. تذکر: تعداد اعضای برخی از مجموعههای متناهی ممکن است بسیار زیاد باشد با این حال با داشتن امکانات الزم و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آنها را بهدست آورد. 6

7 فعالیت الف عددی بین 0 و می باشد.چهار عدد گویای دیگر از بازه ) و 0 ( بنویسید و جواب خود را با جواب های دوستانتان مقایسه کنید. ب آیا می توان بین 0 و به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد پ در مورد متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در بازه ) و 0( چه نتیجه ای می گیرید ت در مورد متناهی یا نامتناهی بودن Q چه می توان گفت ث اگر A دارای یک زیر مجموعه نامتناهی باشد آنگاه A یک مجموعه... خواهد بود. تمرین فرض کنید U مجموعه تمام مضربهای طبیعی عدد 5 باشد. الف( U را با نمایش اعضای آن بنویسید. ب( U متناهی است یا نامتناهی پ( یک زیرمجموعه متناهی از U بنویسید. ت( دو زیر مجموعه نامتناهی مانند C و D از U بنویسید بهطوری که متناهی یا نامتناهی بودن مجموعههای زیر را مشخص کنید. الف( مجموعه اعداد طبیعی. ب( مجموعه شمارندههای طبیعی عدد 6. درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی عدد آووگادرو در شیمی تعداد 0*6/0 عدد از هر ذره )مولکول یا اتم( را یک مول از آن ذره مینامند. برای درک میزان بزرگی این عدد فرض کنیم تعداد مولکولهای موجود در یک مول آب که حدود 8 گرم میباشد را بتوانیم مولکول به مولکول بشماریم و کار شمردن هر مولکول آن هم یک ثانیه زمان ببرد. در این صورت کار شمارش نزدیک به 0 میلیون میلیارد سال به طول خواهد انجامید که این زمان حدود یک میلیون برابر عمر جهان میباشد. به نظر شما مجموعه مولکول های یک مول مشخص از آب یک مجموعه متناهی است یا نا متناهی 7. C D پ( بازه ( و.) 4 ت( >x>{.a=}x N ث( مجموعه مضربهای طبیعی عدد 00. دو مجموعه نامتناهی مثال بزنید که اشتراک آنها مجموعهای متناهی باشد. 4 حاصل هر یک از مجموعههای زیر را با رسم بازههای آنها روی یک محور بهدست آورید: الف( )-,5[ )-,0( ب( ),9( )-,6[ ),+ ( ت( ],+ ( )-,( پ( ]6,0( ث( ), 4 [ + ), ( ج( + ), ( ), 4 [ 5 مجموعه }{-R را روی محور نشان دهید و سپس آن را بهصورت اجتماع دو بازه بنویسید. 6 اگر A B و B مجموعهای متناهی باشد آنگاه A متناهی خواهد بود یا نامتناهی

8 فصل : مجموعه الگو و دنباله درس دوم: متمم یک مجموعه کتابخانه آیت الله نجفی در شهر مقدس قم یکی از بزرگترین کتابخانههای جهان اسالم میباشد که کتابهای نفیس و قدیمی بسیاری را در موضوعات مختلف در خود جای داده است. جدول زیر اطالعات مختصری در مورد تعداد کتابهای این کتابخانه در اختیار ما قرار میدهد. تعداد نوع کتاب مجموعه مرجع فرض کنیم U نشاندهنده مجموعه تمام کتابهای کتابخانه آیت الله نجفی )قدس( و A مجموعه کتابهای خطی آن باشد. اگر مجموعه شامل بقیه کتابهای این کتابخانه که چاپی میباشند را با 'A نشان دهیم آنگاه میتوانیم نمودار پایین صفحه را در مورد کتابهای این کتابخانه رسم کنیم. در این مثال U که شامل تمام کتابهای کتابخانه میباشد را مجموعه مرجع و 'A را متمم مجموعه A مینامیم. در هر مبحث مجموعه ای که همه مجموعه های مورد بحث زیرمجموعه آن باشند را مجموعه مرجع می نامیم و آن را با U نشان می دهیم. هرگاه U مجموعه مرجع باشد و A U آنگاه مجموعه U-A را متمم A می نامیم و آن را با نماد 'A نشان می دهیم. به عبارت دیگر 'A شامل عضوهایی از U می باشد که در A نیستند. فعالیت الف دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید و اعضای هر یک را روی محور نشان دهید. A=}x - > x { جلد جلد جلد کتاب های خطی کتاب های چاپی کل کتاب ها B=}x R - > x { ب A را با نمایش اعضا و B را بصورت یک بازه بنویسید. A={ } B= پ در مورد A اگر مجموعه مرجع را Z در نظر بگیریم A را مشخص کنید. U: مجموعه تمام کتاب های کتابخانه A: کتاب های چاپی A :کتاب های خطی ت در مورد B با فرض این که R مجموعه مرجع باشد B را مشخص کنید و آن را روی محور نمایش دهید

9 کار در کالس اگر U مجموعه شامل تمام استان های کشورمان باشد و A مجموعه استان های غیرساحلی آنگاه 'A را با نمایش اعضای آن بنویسید. درس دوم: متمم یک مجموعه فرض کنیم U مجموعه تمام اتومبیلهای پالکگذاری شده کشور و B مجموعه اتومبیلهای با پالک فرد باشد. در اینصورت 'B چه مجموعهای خواهد بود با فرض آنکه N مجموعه مرجع باشد هر مجموعه رابه متمم خودش وصل کنید. },, 5, 7, 9, { }, 4, 6, 8, 9, 0,,4, { }, 6, 9,, { }, 4, 6, 8, 0, { },,,, 9{ },, 4, 5, 7, 8, { },, 5, 7,,, { }0,,,, 4, { U مجموعه مرجع و A زیرمجموعه دلخواهی از آن می باشد. با رسم نمودار طرف دوم 4 تساویهای زیر را بنویسید. = U = A A = A A = 5 الف( اگر Z را به عنوان مجموعه مرجع درنظر بگیریم آنگاه N را با نوشتن اعضای آن مشخص کنید. ب( اگر R را به عنوان مجموعه مرجع درنظر بگیریم در این صورت N را روی محور نمایش دهید. 6 فرض کنیم 5{ U=},,, 4, مجموعه مرجع باشد و { },, A= و 4{ },.B= ابتدا A و B را بنویسید و سپس جدول های زیر را کامل کنید. از هر قسمت چه نتیجه ای می گیرید نرخ بیکاری جمعیت در سن کار در یک کشور را بهعنوان مجموعه مرجع یعنی U درنظر میگیریم و فرض میکنیم A نشاندهنده مجموعه افراد شاغل این کشور باشد. در اینصورت A برابر مجموعه افراد بیکار و نسبت ) n(a بیانگر نرخ بیکاری آن n(u) کشور خواهد بود. )A ( },, { A ={ } B ={ } )A ( = A A B } { )A B( } { A B } {... =... A B } { )A B( } { A B } {... =... A-B } { A-(A B) } {... =... 9

10 فصل : مجموعه الگو و دنباله تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه در سال گذشته دیدیم که اگر A یک مجموعه متناهی باشد آنگاه برای نشان دادن تعداد عضوهای آن از عالمت n)a( استفاده می شود. مثال اگر }7,{=G,,5 در این صورت می توانیم بنویسیم.n)G(=4 در این بخش می خواهیم رابطه ای برای )B n)a به دست آوریم. فعالیت یک تیم کوهنوردی متشکل از 4 دانش آموز و دانشجو عضو یک مؤسسه طرفدار محیط زیست می باشد. اعضای این تیم به طور داوطلبانه در روزهای جمعه هر هفته کوه های اطراف شهر خود را از وجود زباله پاک سازی می کنند. اعضای دانش آموز این تیم مجموعه }آنیتا زهرا الناز الهام{= A و اعضای دانشجوی آن مجموعه }فاطمه معصومه فرزانه{= B هستند. همان گونه که دیده می شود این دو مجموعه هیچ عضو مشترکی ندارند به عبارت دیگر =B A. به هر دو مجموعه مثل A و B که فاقد عضو مشترک باشند دو مجموعه جدا از هم یا مجزا می گوییم. A آنیتا زهرا الناز الهام الف( اعضای A B که بیانگر اعضای تیم کوهنوردی می باشد را بنویسید و جدول زیر را تکمیل کنید. A B= n)a( 4 n)b( n)a B( n)a B( B فاطمه معصومه فرزانه ب( تعداد عضوهای A B چه رابطه ای با n)a( و n)b( دارد این رابطه را به صورت یک فرمول بنویسید. پ( تحت چه شرایطی این فرمول برای دو مجموعه دلخواه A و B برقرار است الف( مجموعه شمارندههای طبیعی دو عدد 8 و 0 را به ترتیب A و B مینامیم. موارد خواسته شده را بنویسید. n)a(=6 : A=}...,...,...,...,...,...{ مجموعه شمارندههای عدد 8 n)b(= : B=} { مجموعه شمارندههای عدد 0 B(= :A B={ } n (A شمارندههای مشترک 8 و 0 A B=} { n)a B(= 0

11 ب( جدول زیر را کامل کنید. درس دوم: متمم یک مجموعه n)a( n)b( n)a B( n)a B( 6 A B پ( چرا رابطه ای که در فعالیت )( به دست آوردید یعنی n)a(+n)b( n)a )B = در این مثال برقرار نیست ت( با تکمیل نمودار مقابل سعی کنید رابطه درست برای )B n)a را حدس بزنید. همان طور که دیدیم اگر A و B دو مجموعه متناهی دلخواه باشند داریم: n)a B( =n)a( + n)b(-n)a B( با توجه به نمودار روبرو در مورد علت درستی این رابطه با دوستان خود بحث کنید. کاردر کالس یک دوره جشنواره فیلم کوتاه با شرکت فیلم در موضوعات مختلف در حال برگزاری است که در بین آنها 7 فیلم کارتونی و 8 فیلم طنز وجود دارد به طوری که تا از فیلم های کارتونی با مضمون طنز می باشند. مطلوب است تعداد کل فیلم هایی که: )الف( کارتونی یا طنز هستند. )ب( غیرکارتونی و غیر طنز هستند. روش اول حل: مجموعه شامل تمام فیلم ها را با U مجموعه فیلم های کارتونی را با C و مجموعه فیلم های طنز را با T نشان می دهیم.جاهای خالی را پرکنید و جواب ها را بیابید. C U T = T( n)c T( = n)c( + n)t( - n)c )الف... = = T( n)c T( = n)u( - n)c )ب 4 فیلم روش دوم حل: در نمودار و ن مقابل دو مجموعه C و T سطح درون U را به چهار ناحیه جداگانه تقسیم کرده اند که عدد مربوط به دوتا از نواحی نوشته شده است. با نوشتن اعداد مربوط به دو قسمت دیگر جواب قسمت های )الف( و )ب( را بیابید. سه فیلم

12 فصل : مجموعه الگو و دنباله در یک کالس 5 نفری تعداد 5 نفر عضو تیم فوتبال و نفر عضو تیم بسکتبال کالس هستند. اگر 5 نفر از دانشآموزان این کالس عضو هیچ یک از این دو تیم نباشند مشخص کنید چند نفر از آنها عضو هر دو تیم هستند. روش اول حل: با تکمیل نمودار زیر مقدار x را بیابید. U F B 4 فیلم - x 5 نفر x نفر 5 نفر روش دوم حل: چون 5 نفر عضو هیچ یک از این دو تیم نیستند پس = 0 )F n)b حال با نوشتن فرمول )F n)b می توان )F n)b را به دست آورد. B U A A را هاشور بزنید B را هاشور بزنید الف( فرض کنیم A B U که در آن U مجموعه مرجع میباشد. در نمودارهای مقابل A و B را مشخص کنید و سپس تعیین کنید که آیا بین A و B هم رابطه زیر مجموعه بودن برقرار است چگونه ب( اگر e{ U = }a, b, c, d, مجموعه مرجع باشد و b{ A= }a, و c{ B=}a, b, در اینصورت A B میباشد. با بهدست آوردن A و B نشان دهید که بین A و B هم رابطه زیرمجموعه بودن برقرار است. B A U تمرین R را به عنوان مجموعه مرجع درنظر بگیرید و سپس متمم هر یک از مجموعه های زیر را روی محور نشان دهید. [, )- = D )ت( )0,+ ( = C )پ( { 4, }0,,,, = B )ب( ( ]-, = A )الف( N را به عنوان مجموعه مرجع درنظر بگیرید و الف( مجموعه ای نامتناهی مثل A مثال بزنید که A هم نامتناهی باشد. ب( مجموعه ای نامتناهی مثل B مثال بزنید که B متناهی باشد. پ( مجموعه ای متناهی مثل C مثال بزنید و C را به دست آورید. C متناهی است یا نامتناهی تمرین

13 درس دوم: متمم یک مجموعه اگر =5 n)a( n)a B( = 5 و = 0 B( n)a آنگاه n)b( را محاسبه کنید. 4 فرض کنیم A و B زیر مجموعه هایی از مجموعه مرجع U باشند به طوری که 00= n)u( =60 n)a( n)b( =40 و =0 B( n)a مطلوب است B'( n)a' )ت( B( n)a' )پ( B'( n)a )ب( B( n)a )الف( 5 در یک کالس نفری تعداد 4 نفر از دانش آموزان عضو گروه سرود و 9 نفر آنها عضو گروه تئاتر هستند. اگر 5 نفر از دانش آموزان این کالس عضو هر دو گروه باشند مطلوب است: الف( تعداد دانش آموزانی که فقط عضو گروه سرود هستند. ب( تعداد دانش آموزانی که عضو هیچ یک از این دو گروه نیستند. 6 در یک نظرسنجی از 0 مشتری یک فروشگاه زنجیره ای مشخص شد که 70 نفر آنها در یک ماه گذشته از محصوالت شرکت A و 57 نفرشان از محصوالت شرکت B خرید کرده اند. همچنین نفر از آنان نیز اعالم کردند که در این مدت از هر دو شرکت خرید داشته اند. چه تعداد از این 0 نفر در یک ماه گذشته الف( دست کم از یکی از این دو شرکت خرید داشته اند. ب( فقط از شرکت A خرید داشته اند. پ( دقیقا از یکی از این دو شرکت خرید داشته اند. ت( از هیچ یک از این دو شرکت خرید نکرده اند.

14 فصل : مجموعه الگو و دنباله درس سوم: الگو و دنباله الگو مثال شکل های زیر و تعداد چوب کبریت های به کار رفته در هر یک از آنها را مورد توجه قرار دهید. شکل شکل شکل چوب کبریت 8 چوب کبریت 5 چوب کبریت 5 8 بهعنوان مثال مالحظه میشود که»تعداد چوب کبریتهای شکل اول برابر 5 میباشد«که این مطلب را بهطور خالصه بهصورت 5= a نشان دادهایم )میخوانیم: a اندیس برابر 5(. a متغیرهای اندیسدار نامیده میشوند که مقادیر آنها بهترتیب 8 5 و a و a عبارتهای میباشد. به این اعداد جمالت الگو هم گفته میشود. پس در واقع عدد 5 جمله اول الگو a a میباشد 8 جمله دوم آن و به همین ترتیب الی آخر. a n دنیای اطراف ما سرشار از الگوهای مختلفی است. بهعنوان نمونه پیدایش شبانه روز و تغییر فصول مختلف سال جلوهای از الگوی حاکم بر طبیعت است. از سوی دیگر نظم و قانونمندیهای موجود در یک الگو به خودی خود برای ما جذاب است. چه بسا ممکن است طرحهای روی یک گل آفتابگردان شکلهای هندسی روی یک سطح کاشیکاری شده و یا مارپیچهای روی میوه آناناس توجه شما را به خود جلب کرده باشند. بهطور کلی میتوان گفت الگو یک ساختار منظم از اشکال تصاویر صداها نمادها وقایع و یا اعداد میباشد که ممکن است تکرار شونده یا رشد کننده و یا ترکیبی از این دو باشد. از طرف دیگر یکی از رسالتهای مهم ریاضیات مدلسازی کردن پدیدههای طبیعی و پیبردن به الگوهای نهفته در آنها میباشد. اهمیت این موضوع بهقدری است که برخی از ریاضیدانان معتقدند که ریاضی عبارتست از علم مطالعه الگوها. ب a =5 a =8 a = a n = n :شماره شکل a n :تعداد چوب کبریت ها رابطه بین n و a n a 4 نشان دهنده چیست و مقدار آن چقدر است الف با این نمادگذاری a n به چه معناست پ آیا میتوانید حاصل a را بر حسب n بهدست آورید برای این کار فعالیت بعد را انجام دهید. n در سال های گذشته با متغیرهایی مثل y x و z سروکار داشتیم که اسم آنها تک حرفی بود در حالیکه نام متغیرهای اندیسدار که در اینجا بهکار میبریم دو بخشی است. پس تفاوت این دو نوع متغیر تنها در شکل نامگذاری آنهاست و از نظر ماهیت تفاوتی با هم ندارند. 4

15 درس سوم: الگو و دنباله فعالیت a n در مثال باال شکل های الگو را به صورت آیدا برای به دست آوردن حاصل a n را به دست آورید. a 0 و روبرو درنظر گرفت. به کمک این روش مقدار a =)(+ a =)(+ a =)(+ a 4 =4)(+ a 0 = a n = آیسا روش دیگری را به کار برد. او تعداد چوب کبریت های افقی و عمودی a n دست در هر شکل را به طور جداگانه مورد توجه قرار داد تا بتواند به مقدار a n از این روش را درجای مشخص شده بنویسید. یابد. مقدار حاصل برای a =+)( a =+)( a =+4)( a 4 =4+5)( a 0 =0+)0+( a n = چوب های عمودی چوب های افقی a n می دانید آیا شما راه دیگری برای به دست آوردن حاصل a n به دست =n+)n+()( و a n را به ترتیب به صورت های +n= a n 4 همان طور که در قسمت های )( و )( دیدیم آیدا و آیسا مقدار آوردند. جواب آیسا را ساده کنید تا به شکل جواب آیدا درآید. a n تعداد چوب کبریت های شکل بیستم را بیابید. 5 به کمک رابطه +n= a n مشخص کنید که چندمین شکل در الگوی باال دارای 77 قطعه چوب کبریت است. 6 با استفاده از رابطه +n= تذکر: در مثال باال دیدیم که a n بیانگر تعداد چوب کبریت های شکل nام است. +n= a n را جمله عمومی الگو می نامیم چرا که این رابطه در واقع ساختار جمالت الگو را مشخص می کند و به کمک آن می توان مقدار هر جمله از الگو را به دست آورد. به عبارت دیگر در اختیار داشتن جمله عمومی یک الگو به معنای آگاهی داشتن از تمام جمالت آن الگو می باشد. 5

16 فصل : مجموعه الگو و دنباله الگوی خطی n a n )n, a n ( در الگوی مثال قبل دیدیم که هر جمله دقیقا واحد بیش از جمله قبل از خودش بود. 5 ), 5( a 5 a 8 a a ), 8( ), ( )4, 4(. چنین الگوهایی که در آنها اختالف هر دو جمله متوالی عددی ثابت می باشد را الگوهای خطی می نامیم. برای پی بردن به دلیل این نام گذاری ستون سوم جدول مقابل را درنظر می گیریم. اگر این نقاط را در صفحه مختصات مشخص کنیم همگی آنها برروی خط y=x+ قرار می گیرند. به عبارت دیگر مختصات تمام این نقاط در معادله خط گفته شده صدق می کند. a n اتفاقی نیست. شباهت بین معادله خط یعنی y=x+ و جمله عمومی الگو یعنی n+ = عدد که در واقع اختالف بین جمالت متوالی الگو بود در معادله خط به عنوان شیب خط ظاهر شده است که این مطلب همواره درست است y = x + t n می باشد را الگوهای خطی به طور کلی الگوهایی که جمله عمومی آنها به صورت =an+b می نامیم که در آن a و b اعداد حقیقی دلخواه و ثابت هستند t n میزان تغییر جمالت متوالی برابر دیدیم که در یک الگوی خطی با جمله عمومی =an+b n بود. به عبارت دیگر اختالف هر دو جمله متوالی در این الگوی خطی برابر ضریب a می باشد. به عنوان مثال در یک الگوی خطی با جمله عمومی 5+4n-= t n هر جمله نسبت به جمله قبل از خودش 4 واحد کاهش می یابد:, 7,, -, -5, -9, مثال در یک الگوی خطی جمالت چهارم و دهم به ترتیب 7 و 4 می باشند. جمله عمومی الگو را بیابید. C n باشد. پس داریم: حل: فرض کنیم جمله عمومی به صورت =an+b C 4 = 7 a)4(+ b = 7 C 0 = 4 a)0( + b = 4 6a = 4 a = 4 b = C. n بنابراین جمالت الگو به صورت زیر خواهند بود: پس +4n= 5, 9,, 7,, 5, 9,, 7, 4, 45,... C 4 C 0 6

17 کار در کالس شکل بعدی را در الگوی زیر رسم کنید و جدول را کامل نمایید. درس سوم: الگو و دنباله شکل )( شکل )( شکل )( 8 مربع رنگی 4 مربع رنگی 4 5 n: شماره شکل :b n تعداد مربعهای رنگی 4 8 b n و n رابطه بین b= 4 b= توضیح دهید که چرا این الگو یک الگوی خطی محسوب می شود. b n را بیابید و پس از حدس زدن مقدار h حاصل b n را به دست آورید. با توجه به میزان افزایش جمالت الگو مقدار a در رابطه =an+h 4 شکل شماره 50 دارای چند مربع رنگی است 5 در چه مرحله ای از الگوی باال تعداد مربع های رنگی برابر 44 می باشد الگوهای غیرخطی شکل )( o o o o o 5 نقطه شکل )( o o o o o o o o o o o o نقطه فعالیت در الگوی مقابل شکل بعدی را رسم کنید و جدول را کامل نمایید. شکل )( o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o آیا این الگو یک الگوی خطی است چرا 4 5 n: شماره شکل :t n تعداد نقطهها 5 t n و n رابطه بین t= 5 t= 7

18 فصل : مجموعه الگو و دنباله امیررضا برای یافتن جمله عمومی این الگو مجموعه نقاط هر شکل را بهصورت زیر دستهبندی کرد. از شکلهای امیررضا کمک t n را بیابید. بگیرید و مقدار شکل )( شکل )( شکل )( o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o t =)( +4)( t =)( +4)( t =)( +4)( t 4 =)4( +4)4( t n = 4 امیرمحمد نگاه دیگری به مسئله داشت. او برای هر شکل این الگو شکل دیگری را بهصورت روبرو نظیر کرد. با استفاده از این t n را بنویسید. شکلها مقدار شکل )( شکل )( شکل )( t = -4 = )+( -4 t = 4-4 = )+( -4 t = )+( -4 t 4 = )4+( -4 t n = t n در دو قسمت قبلی برابر هستند. 5 نشان دهید که دو مقدار به دست آمده برای t n می شناسید پاسخ خود را با جواب دوستانتان مقایسه کنید. 6 آیا شما روش دیگری برای یافتن دنباله در بخش قبل برای برخی الگوهای هندسی داده شده یک الگوی عددی نظیر کردیم. به عنوان نمونه در فعالیت قبل تعداد نقاط مربوط به شکل های متوالی الگو به صورت زیر بود: 5,,,, 45, این آرایش از اعداد مثالی از یک دنباله است. هر تعداد عدد که پشت سرهم قرار می گیرند را یک دنباله می نامیم. این اعداد جمالت دنباله نامیده می شوند. 8

19 درس سوم: الگو و دنباله t و t جمله دوم را با توجه داریم که ممکن است جمالت یک دنباله فاقد الگو باشند. مشابه صفحات قبل جمله اول این دنباله را با t n نمایش می دهیم. پس: به همین ترتیب جمله nام یا جمله عمومی آن را با t = 5 t = t = t n = n +4n قابل ذکر است که این دنباله یک دنباله درجه نامیده می شود زیرا جمله عمومی آن یک چند جمله ای درجه دوم است. کار در کالس دو دنباله دلخواه مثال بزنید. جمله عمومی چند دنباله داده شده است.در هر مورد جاهای خالی را پر کنید. )الف a n = n - : 0,,, 5, 4 )ب b n = -n+4 :,,, 0,, - )ج c n = -+n : -,, -7,, - در هر سطر از جدول زیر یک دنباله آمده است. در هر مورد سه جمله بعدی را بنویسید. همچنین در پنج مورد اول سعی کنید جمله عمومی دنباله را نیز حدس بزنید. t t t t 4 t 5 t 6 t 7... t n n / 0/0 0/00 0/ شکل )( 6 مربع مربع مربع 9 شکل )( شکل )4( شکل )( 4 الگوی مقابل را درنظر بگیرید. الف ) تعدادمربعها در الگو را بهصورت یک دنباله تا جمله ششم آن بنویسید. ب( آیا دنباله حاصل یک دنباله خطی است چرا

20 )+( فصل : مجموعه الگو و دنباله ج( شکل های الگوی باال را به صورت مقابل تبدیل می کنیم. n را بر حسب a n با دقت در تصویر مقابل سعی کنید حاصل به دست آورید. a a a د( به کمک مرحله قبل حاصل عبارت زیر را بنویسید n = ( + ) a = )+( a = an = تمرین به الگوی زیر توجه کنید. 0 کاشی تیره کاشی سفید 8 کاشی تیره کاشی سفید 6 کاشی تیره کاشی سفید الف( شکل بعدی را رسم کنید و تعداد کاشی های تیره آن را مشخص کنید. ب( تعداد کاشی های تیره در هر مرحله رابه صورت یک دنباله تا جمله هفتم آن بنویسید. t n را برحسب n بنویسید. t n تعداد کاشی های تیره باشد مقدار پ( اگر n تعدادکاشی های سفید و ت( برای 00 کاشی سفید چند کاشی تیره الزم است ث( آیا در این الگو شکلی وجود دارد که شامل 50 کاشی تیره باشد اگر هست تعداد کاشی های سفید آن چندتاست الگوی زیر را درنظر بگیرید. شکل )( شکل )( شکل )( شکل )4( نقطه 5 نقطه 6 نقطه 0 الف( شکل بعدی رارسم کنید و سپس تعداد نقاط هر مرحله را به صورت یک دنباله تا جمله ششم آن بنویسید. ب( جمله عمومی الگو را بیابید. پ( شکل دهم در این الگو چند نقطه دارد جمله عمومی چند دنباله داده شده است. در هر مورد چهار جمله اول دنباله را بنویسید و سپس به هر یک از آنها یک الگوی هندسی نظیر کنید. a n )الف( =4n )ب( b n =n+ )پ( c n =n + )ت( d n =n +n 4 برای دنبالههای درجه دو زیر یک الگوی هندسی نظیر کنید و به کمک آن جمله عمومی هر دنباله را بیابید., 0 0,, 6,, )ب, 9 5, 8,, 0, )الف

21 درس چهارم:دنباله های حسابی و هندسی درس چهارم: دنباله های حسابی و هندسی دنباله حسابی در صفحات قبل مثال هایی از الگوهای عددی خطی ارائه شد. نام دیگر این گونه الگوهای عددی دنباله های حسابی است. به عبارت دیگر دنباله ای که در آن هر جمله )به جز جمله اول( با اضافه شدن عددی ثابت به جمله قبل از خودش به دست می آید یک دنباله حسابی نامیده می شود و به آن عدد ثابت قدر نسبت دنباله می گویند. فعالیت سالهای برگزاری مسابقات المپیک از آغاز هزاره سوم میالدی به بعد بصورت زیر است که جمالت یک دنباله حسابی میباشند. 000, 004, 008, 0, 06, 00, t الف( جمله اول و قدر نسبت این دنباله را مشخص کنید. = d, = ب( نهمین دوره المپیک در این هزاره در چه سالی برگزار خواهد شد پ( با تکمیل جدول زیر جمله عمومی این دنباله را بهدست آورید. t t t t 4 t 9 t n )4( 000+)4( 000+)4( 000+) ()4( 000+) ()4( ت( بیست وچهارمین دوره المپیک در هزاره سوم میالدی درچه سالی برگزار خواهد شد t 4 = با تکمیل جدول زیر سعی کنید ساختار کلی جمله عمومی یک دنباله حسابی را به دست آورید. t t t t 4 t 5 t 6 t n t t + d t + d t + d t + ) (d +d +d +d

22 فصل : مجموعه الگو و دنباله همان طور که مشاهده شد t n می باشد. =t +)n-(d به صورت d و قدر نسبت t جمله nام یک دنباله حسابی با جمله اول کار در کالس در دنباله های حسابی زیر با مشخص کردن قدرنسبت سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را به دست آورید., d =, a n,,, 0, 5, 0, 5, )الف =, d =, b n,,, 7,,, 5, )ب =, d =, c n,,, 7, 5, 9,, )پ =, d =, d n,,, -5,,, 7, )ت = A و B دو شرکت عرضه کننده سیم کارت های تلفن همراه با شرایط زیر هستند. سیم کارتهای شرکت A هزینه ثابت ماهانه: 000 تومان هزینه هر دقیقه مکالمه: 0 تومان سیم کارتهای شرکت B هزینه ثابت ماهانه: 000 تومان هزینه هر دقیقه مکالمه: 0 تومان b n a n نشان دهنده هزینه کل n دقیقه مکالمه ماهانه از طریق سیم کارت شرکت A و فرض کنیم هزینه مشابه برای استفاده از سیم کارت شرکت B باشد. b n را برحسب n بنویسید. a n و الف( مقدار ب( جدول زیر را کامل کنید. n: زمان مکالمه ماهانه )دقیقه( A هزینه سیم کارت :a n B هزینه سیم کارت b: n b n هر کدام می توانند جمله عمومی یک دنباله حسابی باشند چرا a n و پ( آیا اگر جواب مثبت است قدرنسبت هر یک را مشخص کنید. ت( سارا در هر ماه حدود یک ساعت و فاطمه ماهانه تقریبا 50 دقیقه با تلفن همراه مکالمه می کنند. به هر یک از آنها کدام سیم کارت را پیشنهاد می کنید چرا

23 مثال در دنباله حسابی زیر جمله شانزدهم را به دست آورید.,5,4,,8 حل: آرتین و آرکان این مثال را به روش های زیر حل کرده اند. شما کدام روش را می پسندید درس چهارم:دنباله های حسابی و هندسی آرتین: از جمله عمومی دنباله حسابی استفاده می کنیم: t n =a+)n-( d t 6 =a+5 d =4+)5()7( =09 آرکان: یک الگوی خطی با قدرنسبت 7 داریم. پس t n =7n+ b t =7)(+ b 4=7+ b b =- t n جمله عمومی -7n= t 6 =7)6(- t 6 =09 کار در کالس الف( یک دنباله حسابی با قدرنسبت مثبت مثال بزنید که جمله چهارم آن 0 باشد. ب( یک دنباله حسابی با قدرنسبت منفی مثال بزنید که جمله چهارم آن 0 باشد. پ( دنبالهای حسابی مثال بزنید که تنها سه جمله مثبت داشته باشد و سایر جمالت آن منفی باشند. الف( بین 8 و 6 سه عدد چنان قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله حسابی بدهند. در این حالت میگوییم بین 8 و 6 سه واسطه حسابی درج کردهایم. حل: با فرض اینکه 8 جمله اول باشد قدرنسبت را بهدست آورید و جدول را کامل کنید. t = 8 t5 = 6 t+ 4d= 6 d= t t ب( بین 0 و 80 به تعداد مشخص شده در هر مورد واسطه حسابی درج کنید

24 فصل : مجموعه الگو و دنباله تمرین از بین دنباله های زیر دنباله های حسابی را مشخص کنید و در هر یک از آنها با تعیین قدرنسبت جمله بیست ویکم رابیابید., 4, 0, 7, )الف 8,,, 4, )ب,,, 4, )پ,, 0 )ت 7, 4,,,,, )ج,,, 4, )ث در یک دنباله حسابی جمالت سوم و هفتم بهترتیب 0 و 56 میباشد. دنباله را مشخص کنید یعنی با بهدست آوردن جمله اول و قدرنسبت جمالت دنباله را بنویسید. در یک دنباله حسابی مجموع سه جمله اول و مجموع سه جمله بعدی آن 9 میباشد. دنباله را مشخص کنید. 4 الف( دو جمله بعدی الگوی مقابل را با رسم شکل بیابید. ب( جمله عمومی آن را مشخص کنید. پ( جمله چندم این دنباله 97 میباشد 5 الف( واسطه حسابی بین 5 و چه عددی است ب( واسطه حسابی بین 0 و 0 چه عددی است پ( از دو قسمت قبل نتیجه ای می گیرید 5 9 قدیمیترین کتاب ریاضی جهان تاریخ تقریبی پاپیروس رایند ( یا احمس ) سال 650 قبل از میالد است. این پاپیروس یک متن ریاضی میباشد که تا حدودی ماهیت یک کتاب راهنما را دارد و شامل 85 مسئله به خط هیراتی است. احمس کاتب آن را از روی یک اثر قدیمیتر نسخهبرداری کرده است. این پاپیروس در سال 858 میالدی بهوسیله مصرشناس اسکاتلندی هنری رایند در مصر خریداری شد و سپس به موزه بریتانیا منتقل شد. پاپیروسهای رایند ) 650 ق.م.( و مسکو )850 ق.م.( از منابع اصلی اطالعات ما درباره ریاضیات مصر باستان هستند. پاپیروس رایند در سال 97 منتشر شد. این پاپیروس حدود 5/5 متر طول و 0 سانتیمتر عرض دارد. 6 مسئله زیر در پاپیروس رایند آمده است. آن را حل کنید.»00 قرص نان را بین 5 مرد چنان تقسیم کنید که سهم های دریافت شده دنباله حسابی تشکیل دهند و یک سوم مجموع سه سهم بزرگ تر مساوی مجموع دو سهم کوچک تر باشد.«Ahmes A. Henry Rhind 4

25 درس چهارم:دنباله های حسابی و هندسی دنباله هندسی علی به بیماری آنفوالنزا مبتال شده است. روز شنبه چند تن از دوستانش بدون آنکه ماسک زده باشند به عیادت او آمدند. در این زمان ویروس آنفوالنزا از راه تنفس وارد بدن امید و محسن می شود چرا که آنها روز یکشنبه مبتال به این بیماری شدند. اگر پیشگیری انجام نشود و موارد بهداشتی مراعات نگردد پیش بینی می شود که انتشار ویروس تا مدتی با همین الگو ادامه یابد یعنی امید و محسن در روز اول بیماری خود هر کدام ویروس را به نفر دیگر منتقل کنند به طوری که روز دوشنبه 4 نفر جدید از طریق آنها مبتال شوند و این روند ادامه پیدا کند. n: روز n فعالیت t n را بیابید. جدول مقابل را کامل کنید و در روز دهم چند فرد جدید مبتال میشوند در روز یازدهم چند شخص جدید به این بیماری مبتال میشوند. 4 در روز چندم تعداد افراد جدیدی که به بیماری آنفوالنزا مبتال میشوند برابر 684 نفر میشود. در مثال باال میتوانیم تعداد مبتالیان جدید هر روز را بهصورت دنباله زیر بنویسیم:, 4, 8, 6,, این دنباله یک دنباله حسابی نیست چرا که تفاضل جمالت متوالی آن ثابت نیست بلکه نسبت تقسیم هر دو جمله متوالی آن برابر عددی ثابت است. اینگونه دنباله ها را دنباله های هندسی می نامیم. یعنی: t: n تعداد افراد جدیدی که در روز n ام مبتال می شوند )امید و محسن( *= 4*= 8*= t n = = = = = = دنباله هندسی دنباله ای است که در آن هر جمله )به جز جمله اول( از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت به دست می آید. این عدد ثابت را قدرنسبت دنباله می نامیم. فعالیت t و قدرنسبت r باشد جمالت آن به شکل در حالت کلی در یک دنباله هندسی اگر جمله اول زیر خواهند بود. جدول را تکمیل کنید. t t t t 4 t 5 t n t t r t r 5 * r * r * r * r

26 فصل : مجموعه الگو و دنباله با دقت در الگوی به کار رفته در جمالت باال مشخص می شود که t n می باشد که در آن t جمله اول و r قدرنسبت می باشد. جمله n ام دنباله هندسی به صورت -n t= r نرگس نگار r = = 9 t 7 = 9( ) 7 9 r = = t 7 = 9 ( ) =656 7 کار در کالس نرگس و نگار برای محاسبه هفتمین جمله دنباله هندسی,,9, روش های زیر را به کار برده اند. کدام یک از آنها این مثال را درست حل کرده اند توضیح دهید. = 8 در دنباله های هندسی زیر قدر نسبت را مشخص کرده و دو جمله بعدی را بنویسید. سپس جمله عمومی هر دنباله را به دست آورید. t 54,, 6, 8, )الف 6, 486,, a n =* n- * *=r, b n,, 40, 5, 0, 0, )ب =, c n,, -6000,, , 6, )پ = = d,,,, 4,,, )ت n الف( اگر بین و 48 عدد را قرار دهیم سه عدد حاصل تشکیل دنباله هندسی میدهند. در این حالت میگوییم واسطه هندسی بین و 48 میباشد. برای این کار بهجز چه عدد دیگری را میتوان درنظر گرفت t = t = 48 tr = 48 r= 48 ب( بین و 48 سه واسطه هندسی درج کنید. آیا جواب یکتاست 48 پ( جاهای خالی را طوری پر کنید که در هر مورد یک دنباله هندسی حاصل شود

27 درس چهارم:دنباله های حسابی و هندسی 4 یک کوه یخی هزار ت نی در هر روز یک پنجم وزن خود را از دست میدهد. پس از گذشت 5 روز کدام گزینه درست است الف( چیزی از آن باقی نمیماند. ب( حدود آن باقی میماند. ج( تقریبا نصف آن آب میشود. د( حدود آن باقی میماند. تمرین از بین موارد زیر دنباله های هندسی را مشخص کنید و قدر نسبت آنها را بنویسید., 448 7, 8,, )الف 5, 5, 4 5, 6 5, 8 )ب,,, )پ 4 8 5, 5, 5, 5, )ت چند دنباله هندسی با قدر نسبت 4 میتوان ساخت دو مورد را بنویسید. 5 درستی یا نادرستی جمالت زیر را بررسی کنید. در صورت درست بودن توضیح دهید و در صورت نادرست بودن مثال نقض ارائه کنید. الف( هر دنباله یا حسابی است یا هندسی ب( دنباله ای وجود ندارد که هم حسابی باشد و هم هندسی 4 علی دوچرخه ای را به قیمت 500 هزار تومان خرید. فرض کنید قیمت دوچرخه دست دوم در هر سال 0% نسبت به سال قبل از خودش کاهش یابد. الف( اگر او بعد از سال قصد فروش دوچرخه اش را داشته باشد به چه قیمتی می تواند آن را بفروشد ب( قیمت دوچرخه بعد از گذشت n سال از چه رابطه ای به دست می آید 5 حاصل ضرب 0 جمله اول دنباله هندسی زیر را محاسبه کنید,8,,4 6 جمالت سوم و ششم یک دنباله هندسی به ترتیب و 96 می باشند. دنباله را مشخص کنید. 7 بنابر آمار منتشر شده از جانب پزشکی قانونی کشور آمار تلفات جاده ای از عدد 7759 نفر در سال 84 به عدد 6584 نفر در سال 94 کاهش یافته است که نشان دهنده حدود %5 کاهش ساالنه در طی دهه مذکور می باشد. اگر آمار حوادث رانندگی در کشور با همین سرعت کاهش یابد الف( انتظار می رود در هر یک از سال های منتهی به سال 400 چند نفر از هم وطن های ما جان خود را در حوادث رانندگی از دست بدهند نتایج را در جدول زیر ثبت کنید. سال تعداد تلفات مورد انتظار ب( اعداد حاصل چه نوع دنباله ای تشکیل می دهند 7

28 مثلثات فصل : مثلثات فصل درس اول نسبت های مثلثاتی درس دوم دایره مثلثاتی درس سوم روابط بین نسبت های مثلثاتی 8

29 درس اول: نسبت های مثلثاتی درس اول: نسبت های مثلثاتی مثلثات نامی است که به ریاضی مثلث ها داده می شود و به معنی اندازه گیری مثلثی است. موضوع این شاخه از ریاضیات بررسی روابط بین زوایا و اضالع یک مثلث است. یکی از اهداف این علم اندازه گیری فاصله ها به صورت غیرمستقیم است. مثلثات در علوم هندسی فیزیک نقشه برداری دریانوردی نجوم و غیره مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال فرض کنید یک هواپیما در ارتفاع کیلومتری از سطح زمین در حال فرود آمدن است. برای اینکه اتومبیلها درپیچ بتوانند بدون خطر انحراف در جاده حرکت کنند در آن شیب عرضی ایجاد میکنند یعنی جاده را طوری میسازند که قسمت بیرونی نسبت به قسمت درونی مرتفعتر باشد. o محل فرود Akm اگر زاویه هواپیما با افق باشد می خواهیم محل دقیق فرود هواپیما را بدانیم. این مسئله و هزاران مسائل شبیه به آن با استفاده از روابط مثلثاتی حل می شوند. برای معرفی این مفهوم به مفهوم تشابه نیاز داریم. در پایه نهم با این مفهوم آشنا شدید و دیدید که دو مثلث )n ضلعی( با هم متشابه اند هرگاه زوایای نظیر در آنها برابر و نسبت اضالع متناظر نیز با ABC هم برابر باشند.یعنی اگر ABC آنگاه داریم AB BC AC = = AB BC AC و B=B. A=A C=C در هندسه ثابت می شود: در صفحات گرافن هر اتم کربن با سه اتم کربن دیگر پیوند داده است که زوایای بین این پیوندهها 0 است. در آیندهای نه چندان دور بهترین میکروفنهای جهان با استفاده از گرافن ساخته میشوند. این میکروفنها قابلیت ردیابی امواج صوتی فراتر از دامنه شدت سیستم شنوایی انسان را دارا میباشند. A B C B A C A A هرگاه دو زاویه از مثلثی با دو با زاویه از مثلثی دیگر برابر باشند آن دو مثلث متشابه اند. به عنوان یک نتیجه از مطلب باال می توان دید: C C B B =C C در شکل مقابل دو مثلث قائم الزاویه باشند و داشته باشیم ABC و ABC اگر ( C و 'C دو زاویه حاده هستند( آنگاه ABC ABC 9

30 فصل : مثلثات فعالیت در مثلثهای قائمالزاویه ABC و A'B'C'. A = A جاهای خالی را کامل کنید. C' از تساوی ABC ABC AC AB ΒC = = AC AC AB میتوان نتیجه گرفت AB = A B )چرا ( با توجه به این AC A C = AC AB نکته جاهای خالی را کامل کنید: A C B A' B' AB BC = و AC BC = نتیجه: اگر زاویه A از مثلث قائم الزاویه ABC با زاویه 'A از مثلث قائم الزاویه A'B'C' )مطابق شکل باال( برابر باشند داریم: AC A C B AB A و = B AB A و = = BC B C BC B C AC A C کار در کالس در شکل سمت راست درستی تساوی BC = EF را بررسی کنید. AB AE نقطه دیگری مثل M در امتداد AC درنظر بگیرید و از آن نقطه عمودی بر ضلع دیگر زاویه A رسم کنید و پای عمود را N بنامید. اکنون جاهای خالی را کامل کنید: A C B F E M BC MN = = AB AE همانطور که در کار در کالس باال دیدیم در مثلث قائمالزاویه ABC برای زاویه معین A نسبت طول ضلع مقابل زاویه A بهطول ضلع مجاور آن همواره مقداری ثابت است. این نسبت را تانژانت زاویه A مینامیم و با tana نشان میدهیم. بهعبارت دیگر در مثلث قائمالزاویه ABC داریم: طول ضلع مقابل به زاویه A طول ضلع مجاور به زاویه A tana= = BC AB عکس تانژانت زاویه A را کتانژانت نامیده و آن را با cota نشان می دهیم. به عبارت دیگر در مثلث قائم الزاویه ABC داریم: = AB BC طول ضلع مجاور به زاویه A = cota طول ضلع مقابل به زاویه A A C B 0

31 فعالیت در هر یک از شکل های زیر جاهای خالی را کامل کنید. درس اول: نسبت های مثلثاتی C A 5 E 5 M A B N /5 O F BC tan A = = 4 AB MN cot M = = tan F = = NO / 5 B A 60 o 60 o 60 o C M C cot A = = tan M = = cot F = = مثلث متساوی االضالع ABC با اضالعی به طول واحد را درنظر بگیرید. الف( محل برخورد نیمساز زاویه A با پاره خط BC را M بنامید. با توجه به خواص مثلث متساوی الساقین AM ضلع BC است. بنابراین BM = MC =. ب( با استفاده از رابطه فیثاغورس طول AM و حاصل کسرهای زیر را به دست آورید. BM tan 0 = =, AM tan60 = =. AM BM ج( با استفاده از یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین تانژانت و کتانژانت زاویه 45 را پیدا کنید. در هر مثلث قائم الزاویه ABC نسبت طول ضلع مقابل زاویه حاده A به طول وتر همواره مقداری ثابت است که آن را سینوس زاویه Aمی نامیم و با sina نشان می دهیم. به عبارت دیگر A B BC sin A =. AC همچنین نسبت طول ضلع مجاور زاویه حاده A به طول وتر نیز مقداری ثابت است که آن را کسینوس A نامیده و آن را با cosa نشان می دهیم. به عبارت دیگر = A. cos tan A BC BC AC AB AB AC cot A sin A cos A به سادگی می توان دید در مثلث قائم الزاویه ABC = = =. cos A sin A sin A cos A این رو = tan A. به طور مشابه می توان دید = و از

32 فصل : مثلثات در یک مثلث قائم الزاویه نسبت های سینوس کسینوس تانژانت و کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می نامیم. مثال خانم جاللی از دانش آموزان خواست تا نسبت های مثلثاتی زاویه 45 را حساب کنند. او ابتدا یک مربع با اضالعی به طول واحد را رسم کرد و از دانش آموزان خواست تا قطر AC را رسم کرده و سپس طول آن را حساب کنند. فریبا: با توجه به اینکه مثلث ADC قائم الزاویه است داریم =)AC(.)AD( +)DC( در نتیجه )AC( = + و از این رو =.)AC( چون اندازه قطر همواره عددی مثبت است پس. A = C. AC = معلم: با توجه به اینکه مثلث ADC متساوی الساقین است از این رو = مبینا: طبق تعریف سینوس DC sin A = sin45 = = = وتر سبا: من هم می توانم با توجه به روابط باال کسینوس 45 را پیدا کنم. cos A = cos45 = = =. مریم: اکنون در مثلث قائم الزاویه ADC طبق تعریف داریم tan A = tan45 = و = cot A = cot45 = = A B D C کار در کالس به کمک شکل فعالیت قبل نسبت های مثلثاتی زاویه های 0 و 60 را پیدا کرده و جدول زیر را کامل کنید )در صورت لزوم کسرها را گویا کنید(. مقدار sina cosa tana cota

33 مثال یک موشک در ارتفاع 5 متری از سطح زمین و با زاویه 0 پرتاب می شود. می خواهیم بدانیم پس از طی 000 متر با همین زاویه موشک به چه ارتفاعی از سطح زمین می رسد حل: ابتدا یک مدل ریاضی برای حل این مسئله می سازیم. با توجه به شکل زیر به سادگی می توان دید ارتفاع موشک از سطح زمین برابر است با BC+ MC= + BC. sin پس در مثلث قائمالزاویه بنابراین کافی است طول BC را پیدا کنیم. میدانیم = 0 ABC داریم: و از این رو فعالیت درس اول: نسبتهای مثلثاتی 0 0 A sin 0 BC = = BC = = + = ارتفاع موشک الف( یک زاویه 50 رسم کنید. با تشکیل یک مثلث قائم الزاویه و اندازه گیری طول های موردنظر توسط یک خط کش مدرج نسبت های مثلثاتی زاویه 50 را به صورت تقریبی حساب کنید. سپس با ماشین حساب مقادیر واقعی را به دست آورید و با مقدار قبل مقایسه کنید. 5 متر 5 متر B C M ب( با استفاده از قسمت )الف( توضیح دهید چگونه می توان نسبت های مثلثاتی زاویه 40 را حساب کرد. 6 متر A میخواهیم مساحت مثلث ABC در شکل زیر را پیدا کنیم. میدانیم مساحت مثلث ABC برابر است با ارتفاع * قاعده * = مساحت الف( با توجه به اینکه 0/76 sin50 داریم ب( با توجه به قسمت )الف( داریم: sin AH AH = = AH = وتر 50 B 50 H 8 متر C = = AH BC مساحت مثلث *

34 کار در کالس در هر مثلث با معلوم بودن مقادیر طول دو ضلع مثلث و اندازه زاویه بین آنها نشان دهید: ABC * AB * BC * sinb = مساحت )میتوانید به کمک ماشین حساب نسبتهای مثلثاتی هر زاویه را حساب کنید(. B A فصل : مثلثات C در راه پیمایی بهمن یک بالن اطالع رسانی توسط دو طناب به زمین بسته شده است. می خواهیم طول طناب دوم را پیدا کنیم. الف( ابتدا اندازه زاویه B را به دست آورید. سپس ارتفاع وارد بر ضلع AC را رسم و آن را BH بنامید. 0 متر BC? ب( طول BH را با استفاده از سینوس زاویه A به دست آورید. A B ج( اکنون با استفاده از سینوس زاویه 65 طول طناب دوم را پیدا کنید. امین می خواهد عرض رودخانه زیر را به دست آورد.با توجه به شکل ابتدا راه حل او را توضیح دهید و سپس عرض رودخانه را پیدا کنید. x تمرین نسرین می خواهد ارتفاع یک تیر برق که طول سایه آن متر است را حساب کند. قد نسرین /5 متر و طول سایه او در همان لحظه 0/5 متر است. ارتفاع تیر برق چقدر است. 45 متر h =? 0/5 4

35 مساحت شش ضلعی منتظم روبه رو را به دست آورید. cm درس اول: نسبت های مثلثاتی یک هواپیما در ارتفاع km از سطح زمین در حال فرودآمدن است اگر زاویه هواپیما با افق حدود باشد هواپیما در چه فاصله ای از نقطه A فرود می آید. o A محل فرود Akm cm 4 فرض کنید.sin75 0/96 مساحت مثلث ABC در شکل زیر را به دست آورید. 75 B 5 cm C B 5 توضیح دهید چگونه می توان نسبت های مثلثاتی زاویه 5 را پیدا کرد. )در صورت لزوم از ماشین حساب استفاده کنید(. A cm cm 0 0 C 6 مساحت مثلث ABC را پیدا کنید. 5

36 فصل : مثلثات درس دوم: دایره مثلثاتی x O y y θ P A x دایره روبه رو به مرکز مبدأ مختصات و شعاع را درنظر بگیرید. نقطه A مبدأ حرکت برای رسم زاویه است. اگر نقطه P روی این دایره در خالف جهت عقربه های ساعت حرکت کند زاویه AOP مثبت و حرکت در جهت عقربه های ساعت منفی است. چنین دایره ای را یک دایره مثلثاتی می نامیم. مثال: در هر یک از دایره های مثلثاتی سمت راست مقدار زاویه های و 5 داده شده اند. x O y -90 زاویه منفی فعالیت هر یک از زاویه های زیر را روی دایره های مثلثاتی داده شده نشان دهید. A x y y y P y y x x x x x O O O x x O 90 زاویه مثبت A x x فرض کنید P)x,y( نقطهای دلخواه روی دایره مثلثاتی روبهرو باشد و θ زاویهای است که نیمخط Ox میسازد. از نقطه P خطی بر محور OP با محور Ox عمود کرده و محل برخورد را Q مینامیم. الف( در مثلث OPQ نسبتهای مثلثاتی زاویه θ را بهدست آورید. y O y θ { Q P { y x y cosθ =... و sinθ =... و tanθ =... y x x y P y P -0 y y 5 O P زاویه منفی x زاویه مثبت A x y 6

37 y ب( با توجه به قسمت الف( می توان دید فاصله Q تا مبدأ با برابر است و فاصله نقطه P تا پای عمود یعنی نقطه Q با برابر است. درس دوم:دایره مثلثاتی x O θ cosθ P sinθ x ج( با توجه به قسمت باال آیا می توان نتیجه گرفت که برای هر زاویه دلخواه - sinθ θ و - cosθ توضیح دهید. y با توجه به قسمت )ب( محور x'ox یا محور xها را محور کسینوس ها و محور y'oy یا محور yها را محور سینوس ها می نامیم. به عبارت دیگر اگر P نقطه دلخواهی روی دایره مثلثاتی باشد که نیم خط OP با قسمت مثبت محور xها زاویه θ می سازد آنگاه P نقطه ای با مختصات )x,y( است که در آن x=cosθ و.y=sinθ x y ربع دوم O نکته: دو محور عمود بر هم x'ox و y'oy صفحه را به چهار قسمت تقسیم می کنند که هر یک از آنها را یک ناحیه یا یک ربع مثلثاتی می نامیم. با توجه به جهت دایره مثلثاتی ناحیه xoy را ربع اول ناحیه x'oy را ربع دوم ناحیه x'oy' را ربع سوم و ناحیه xoy' را ربع چهارم مثلثاتی می نامیم. نکته: زاویه های و 60 زوایای مرزی هستند و آنها را در هیچ کدام از ناحیه های فوق در نظر نمی گیریم. ربع اول x ربع سوم ربع چهارم کار در کالس y مشخص کنید هر یک از زاویه های زیر در کدام یک از نواحی چهارگانه قرار می گیرد الف( -0 ب( 65 ج( 8 د( -95 با توجه به آنچه در فعالیت قبل به دست آوردید توضیح دهید که اگر انتهای کمان روبه رو به زاویه ای در ربع اول باشد آنگاه چرا نسبت های مثلثاتی آن زاویه همگی مثبت می باشند y B),0( مثال x C)-,0( O θ P)x,y( x A),0( می خواهیم نسبت های مثلثاتی زاویه 0 را به دست آوریم. می دانیم در دایره مثلثاتی روبه رو sin0 قرار می گیرد و داریم 0= A روی نقطه P آنگاه نقطه اگر 0=θ.cosθ=x و sinθ=y همچنین = cos0 و =0 tan0 اما cot0 تعریف نمی شود )چرا (. D)0,-( 7 y

38 فصل : مثلثات فعالیت در دایره مثلثاتی روبه رو اگر 90=θ نسبت های مثلثاتی θ را پیدا کنید. y B)0,( θ=90 P)x,y( اگر 80=θ نسبتهای مثلثاتی θ را پیدا کنید. اگر 70=θ نسبتهای مثلثاتی θ را پیدا کنید. x θ=80 C)-,0( O θ θ=0 A),0( x θ=70 D)0,-( کار در کالس با توجه به نتایج باال جدول زیر را کامل کنید: y تعریف نشده مقدار sinθ cosθ tanθ cotθ 0 تعریف نشده > 90 α α 0 > در ربع اول است > 80 α α 90 > در ربع دوم است > 70 α α 80 > در ربع سوم است > 60 α α 70 > در ربع چهارم است فعالیت فرض کنید θ زاویه ای در دایره مثلثاتی در ربع سوم باشد. با توجه به اینکه y=sinθ و x=cosθ و در ربع سوم 0<x و y عالمت هر یک از نسبت های مثلثاتی θ را در ربع سوم مشخص کنید. x P θ y O x فرض کنید α زاویهای در دایره مثلثاتی در ربع دوم باشد. فعالیت قبل را برای α نیز تکرار کنید. y y جدول زیر را کامل کنید: x P α x ربع چهارم ربع سوم ربع دوم ربع اول x,y<0 مقدار y sinθ + cosθ - tanθ + cotθ - 8

39 درس دوم:دایره مثلثاتی y مثال P)x,y( θ= 7 sin آیا آقای جاللی از دانش آموزان پرسید اگر θ زاویه ای در ربع دوم مثلثاتی باشد و x y X θ O y x می توان سایر نسبت های مثلثاتی θ را پیدا کرد امین: میدانیم = y sin =θ بنابراین P نقطهای به عرض است. 7 معلم: درست است و حاال طول نقطه P چگونه بهدست میآید امیرعلی: طبق رابطه فیثاغورس در مثلث قائمالزاویه داریم = x. y+ بنابراین و 45 در نتیجه = x. اکنون با حل معادله باال داریم = x. 49 معلم: آفرین این راه کامال درست است ولی کدام مقدار قابل قبول است محمد مهدی: چون θ زاویه ای در ربع است پس طول نقطه P منفی است و از این رو =x قابل قبول است. معلم: استدالل محمدمهدی کامال منطقی است و در نتیجه P نقطه ای به مختصات ) و ( است.در نتیجه cot θ=, y tan θ= =, x cos x θ= = 5. 7 x P)x,y( y y x {θ O x فعالیت در هر یک از قسمت های زیر نقطه P روی دایره مثلثاتی قرار دارد و می دانیم θ در ربع سوم مثلثاتی قرار دارد بنابراین = =sinθ. y الف( مختصات نقطه P را به دست آورید. ب( سایر نسبت های مثلثاتی زاویه θ را به دست آورید.. cosθ= y α= اگر 5 cos آنگاه در مورد ناحیه ای که α در آن قرار می گیرد بحث کنید. زاویه ای مثال بزنید که سینوس آن منفی و کسینوس آن مثبت باشد. 9

40 فصل : مثلثات رابطه شیب خط با تانژانت زاویه فعالیت نمودار خط y=x-4 در شکل روبه رو رسم شده است. دو نقطه B و C روی این خط را درنظر بگیرید و خطی از آنها به محور xها عمود کنید. پای عمودها را به ترتیب E و F بنامید. الف( تانژانت زاویه α را به دست آورید. ب( شیب این خط را پیدا کنید. = تفاضل عرضها تفاضل طول ها = شیب خط Y C ج( از مقایسه قسمت )الف( و )ب( چه نتیجه ای می گیرید توضیح دهید. شیب هر خط که محور افقی را قطع می کند تانژانت زاویه بین خط و جهت مثبت محور افقی است. به عبارت دیگر اگر α زاویه ای باشد که خط با جهت مثبت محور افقی می سازد آنگاه =tanα شیب خط y x-٤ A B α E F X کار در کالس فعالیت باال را برای خط های زیر تکرار کنید. الف( y-x=5 ب( x+y= معادله خطی را بنویسید که زاویه آن با محور xها 0 است و از نقطه ),0( می گذرد. تمرین هر یک از زاویه های زیر را روی دایره مثلثاتی نشان دهید و سپس مشخص کنید در کدام یک از نواحی چهارگانه قرار می گیرد. الف( +70 ب( 5 ج( -5 د( 85 40

41 در هر یک از موارد زیر نسبت مثلثاتی زاویه ای داده شده است. سایر نسبت های مثلثاتی را به دست آورید. الف( cosα= 7 )α در ربع چهارم( )β sin در ربع سوم( درس دوم:دایره مثلثاتی β= ب( اگر tanθ و sinθ هم عالمت باشند آنگاه θ در کدام ربع مثلثاتی قرار دارد 4 حدود زاویه θ را در هر یک از حاالت زیر مشخص کنید. الف( cosθ<0 sinθ<0, ب( cosθ<0 sinθ>0, 5 اگر cosα>0 sinα آنگاه α در کدام یک از نواحی چهارگانه میتواند قرار بگیرد چرا 6 زاویه ای مثل β پیدا کنید به طوری که.tanβ > cotβ اکنون زاویه ای مثل α پیدا کنید به طوری که.cotα > tanα از این تمرین چه نتیجه ای می گیرید 7 معادله خطی را بنویسید که زاویه آن با محور xها 45 است و نقطه )0,( روی آن قرار دارد. 8 با توجه به شکل زیر معادله خط l را به دست آورید. در اخترشناسی اغلب به مسئله هایی برمی خوریم که برای حل آنها به مثلثات نیازمندیم. ساده ترین این مسئله ها پیدا کردن یک کمان دایره بر حسب درجه است می دانید سینوس یک کمان از لحاظ قدرمطلق برابر با نصف طول وتر دو برابر آن کمان است. همین تعریف ساده اساس رابطه بین کمان ها و وترها را در دایره تشکیل می دهد و مثلثات هم از همین جا شروع شد. کهن ترین جدولی که به ما رسیده است و در آن طول وترهای برخی کمان ها داده شده است متعلق به هیپارک اخترشناس سده دوم میالدی است و شاید بتوان تنظیم این جدول را نخستین گام در راه پیدایش مثلثات دانست. همه کارهای ریاضیدانان و اخترشناسان یونانی در درون هندسه انجام گرفت و هرگز به مفهوم های اصلی مثلثات نرسیدند. خوارزمی نخستین جدول های سینوسی را تنظیم کرد و پس از او همه ریاضیدانان ایرانی گام هایی در جهت تکمیل این جدول ها و گسترش مفهوم های مثلثاتی برداشتند. مروزی جدول سینوس ها را تقریبا 0 درجه به 0 درجه تنظیم کرد و برای نخستین بار به دلیل نیازهای اخترشناسی مفهوم تانژانت را تعریف کرد. جدی ترین تالش ها به وسیله ابوریحان بیرونی و ابوالوفای بوزجانی انجام گرفت و سرانجام خواجه نصیرالدین طوسی با جمع بندی کارهای دانشمندان ایرانی پیش از خود نخستین کتاب مستقل مثلثات را نوشت. بعد از طوسی جمشید کاشانی ریاضیدان ایرانی با استفاده از روش زیبایی که بری حل معادله درجه سوم پیدا کرده بود توانست راهی را برای محاسبه سینوس کمان یک درجه با هر دقت دلخواه پیدا کند. پیشرفت بعدی دانش مثلثات از سده پانزدهم میالدی و در اروپای غربی انجام گرفت. - 0 l 4

42 فصل : مثلثات درس سوم: روابط بین نسبت های مثلثاتی در درس های قبل با نسبت های مثلثاتی و دایره مثلثاتی آشنا شدید در این درس روابطی بین این نسبت ها و کاربردهایی از آنها را بیان می کنیم. فعالیت مثلث قائم الزاویه ABC را درنظر بگیرید. A الف اندازه وتر یعنی x را یافته و سپس مقدار عددی هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را برای زاویه θ و α به دست آورید. sin BC AC θ= = sinα = cosθ= BC sin θ tan θ= = = AB cosθ BC cosα= = AC tan AB BC α= = 4 B θ x α C cosθ cotθ= = = cotα = ب با توجه به مقادیر عددی حاصل در قسمت )الف( مقدار sin θ+cos θ و sin α+cos α را به دست آورید. sinθ * sinθ = (sinθ) = sin θ ج درستی رابطه = θ sin θ+cos را با استفاده از تعریف و اضالع مثلث بررسی کنید. BC AB BC + AB (sin θ ) + (cos θ ) = sin θ+ cos θ= ( ) + ( ) = = AC AC AC د مشابه قسمت )ج( درستی رابطه = α sin α+cos را بررسی کنید. 4

43 درس سوم:روابط بین نسبت های مثلثاتی اگر α زاویه دلخواهی باشد همواره داریم: sin α+cos α = کار در کالس با توجه به رابطه باال یعنی = α sin α+cos جاهای خالی را پر کنید: sin α+cos α = sin α = sinα= ± )الف sin α+cos α = cos α = cosα= ± )ب تذکر: در رابطه هایی که به دست آوردید عالمت مثبت یا منفی زاویه α با توجه به ناحیه ای که زاویه در آن قرار دارد تعیین می شود. مثال sin آنگاه در این صورت مقدار cosα tanα و cotα را به دست آورید. cosα=± sin 6 α cosα= = 5 5 α= 4 اگر α زاویه ای در ناحیه سوم مثلثاتی باشد و 5 α درناحیه سوم 4 sinα tanα= = 5 4 = cosα 5 cotα= = = tanα 4 4 کار در کالس رابطه های تانژانت برحسب کسینوس و کتانژانت برحسب سینوس در این قسمت رابطه ای برای تانژانت بر حسب کسینوس یک زاویه و همچنین رابطه ای برای کتانژانت برحسب سینوس را به دست می آوریم: si n sin α cos α α+ cos α= + = cos α ta n α+ = cos α )( si n α si n α+ cos α= + si n α = + cot α= si n α )( 4

44 با توجه به شکل مقابل اندازه اضالع مثلث ABC را محاسبه کنید. طول ضلع مجاور طول وتر cos0 = = BC AC = 4 AC = AC = AB =AC - = AB= فصل : مثلثات A B 0 C 4 α= 4 اگر >α>80 90 و 4 tan آنگاه سایر نسبت های مثلثاتی زاویه α را به دست آورید. مثال مطابق شکل مقابل نردبانی به طول 8 متر در زیر پنجره ساختمانی قرار گرفته است. اگر زاوی ه نردبان با سطح زمین 45=θ باشد ارتفاع پنجره تا زمین را محاسبه کنید. فاصله پای نردبان تا ساختمان چقدر است BC sin θ= = 8 8 BC= BC = از طرفی چون مثلث ABC متساوی الساقین است پس AB=BC یعنی فاصله پای نردبان تا ساختمان نیز 4 متر است. اتحاد مثلثاتی هر یک از تساوی های + cot α=, + tan α=, si n α+ cos α= sin α cos α را که به ازای هر α همواره برقرار است یک اتحاد مثلثاتی می نامیم )0 α.(cos α, sin هرگاه بخواهیم ثابت کنیم بین دو عبارت مثلثاتی یک تساوی )اتحاد( برقرار است می توانیم یک طرف تساوی را نوشته و با توجه به روابط بین نسبت های مثلثاتی به طرف دیگر برسیم. به A مثال زیر توجه کنید: 8 متر θ B C 44

45 مثال درستی اتحاد مثلثاتی زیر را بررسی کنید. درس سوم:روابط بین نسبت های مثلثاتی اتحاد مزدوج ) + sinθ()- sinθ( =- sin θ = cos θ ( + tan θ)( sin θ ) = cosθ cosθ sin θ ( + tan θ)( sin θ ) = ( + )( sin θ) cosθ cosθ cosθ + sin θ sin θ cos θ = ( )( sin θ ) = = = cosθ cosθ cosθ cosθ کار در کالس درستی هر یک از تساوی های زیر را بررسی کنید: 4 4 sin θ cos θ= sin θ cos )الف θ اتحاد مزدوج =4 4 (sin θ cos θ ) (sin θ cos θ ) sin θ cos θ = tan α+ cosα + cot α=? cosθ sin α sin α اتحاد مزدوج tan α+ cosα + cot α= tan α cosα = + = cosα + α sin α sin α sin α sin α )ب cos = sin α+ cos α= sin αcosα ج( آیا تساوی زیر یک اتحاد است چرا د( با ضرب کردن طرفین اتحاد مثلثاتی =α + tan در cotα یک اتحاد مثلثاتی بسازید و سپس درستی آن اتحاد را اثبات کنید. cos α 45

46 فصل : مثلثات تمرین فرض کنید α زاویه ای در ناحیه دوم مثلثاتی باشد و cosα= 5. سایر نسبت های مثلثاتی زاویه α را به دست آورید. α= 4 اگر = tan و α زاویهای در ناحیه چهارم باشد سایر نسبتهای مثلثاتی زاوی ه α را بهدست آورید. 5 را بهدست آورید. اگر = 5 sin آنگاه سایر نسبتهای مثلثاتی زاویه آنگاه سایر نسبتهای مثلثاتی زاویه 40 را بهدست آورید. 4 اگر = 40 tan 5 شخصی می خواهد عرض یک رودخانه را اندازه گیری کند. او ابتدا مطابق شکل نقطه ای چون C و نقطه ای مانند A در امتداد C و در طرف دیگر رودخانه مشخص می کند و به اندازه 00 متر از C به صورت افقی در امتداد رودخانه حرکت می کند تا به نقطه B برسد. اگر زاوی ه دید این شخص )از نقطه B به نقطه A( 0 باشد و sin0 0/4 او چگونه می تواند عرض رودخانه را محاسبه کند )پاسخ خود را تا دو رقم اعشار برحسب متر گرد کنید.( A 7 درستی هر یک از تساوی های زیر را بررسی کنید. B θ=0 00m C الف( tanθ= sin θ cosθ cosθ sinθ = + sin θ cosθ + tan α = tan α + cotα ب( ج( cos x د( = sinx sinx cosx tanx cosx = + sinx ه( 46

47 فصل توان های گویا و عبارت های جبری درس اول ریشه و توان درس دوم ریشه n ام درس سوم توان های گویا درس چهارم عبارت های جبری

48 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری درس اول: ریشه و توان در سال گذشته با ریشههای دوم و سوم عددها آشنا شدهاید. ریشه و توان رابطه دو سویهای با هم دارند. به عنوان مثال = 8 8 = همچنین. عالمت را»نتیجه میدهد«بخوانید. این دو عبارت را یکجا به شکل» = 8 8 = «مینویسیم. عالمت «8 = = 8» را»معادل است با«میخوانیم و این به آن معناست که سمت چپ سمت راست را نتیجه میدهد و سمت راست سمت چپ را نتیجه میدهد. فعالیت اکنون با هر تساوی توانی یک تساوی رادیکالی بنویسید. همچنین نظیر هر تساوی رادیکالی یک تساوی توانی بنویسید مانند نمونه ها = 9 9 =8 ( ) = = 5 = 5 50 = 5 4 = 6 8 = = 00 = 0 )0/5( =0/ = 4 )0/5( = 0/5 45 = 5 در جدول زیر جاهای خالی را پر کنید. برای بعضی از عددها میتوانید از تقریب استفاده کنید. 8 عدد ریشه سوم کار در کالس حجم مخزن آبی به شکل مکعب برابر 5 مترمکعب است. طول ضلع این مکعب را حدس زده و حدس خود را آزمایش کنید. می دانیم هرگاه طول ضلع مکعب a متر باشد حجم آن برابر a متر مکعب است. طول ضلع 4 6 حجم مکعب

49 دبیر: ریشه سوم 5 تقریبی به دست می آید و به صورت تقریبی آن را برابر /9 می گیریم. درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی آیا = 5 )/8( )/8( =)/8( */8 = /94 /9 احمد: چون 7= و 8>5>7 پس < 5 < بهتر است /8 را امتحان کنم 5 = /9 احمد: مقدار دقیق و واقعی 5 چقدر است دبیر: 5 یک عدد اعشاری است. اگر ماشین حساب مناسب داشته باشید میتوانید تا چندین رقم اعشار مقدار تقریبی دقیقتری برای آن بهدست آورید اما هیچگاه مقدار دقیق آن به صورت اعشاری قابل نمایش نیست به همین علت برای بیان مقدار دقیق آن از نماد 5 استفاده میکنیم. اگر قدرت ماشین حساب شما بیشتر باشد تعداد ارقام اعشاری بیشتری به دست میدهد و عدد دقیقتری برای ریشه سوم 5 حاصل میشود. 5 بهجای مقدار دقیق ریشه سوم 5 بهکار میرود اما در عمل با مقادیر تقریبی آن کار میکنیم. 5 به 7 نزدیک تر است تا 8 پس بهتر است عدد /9 را امتحان کنم. )/9( =)/9( */9 =4/489 4/5 با تقریب کمتر از ریشه عددها را می توانیم به طور تقریبی روی محور اعداد نشان دهیم مقدار تقریبی یا دقیق ریشه ها را محاسبه و روی محور اعداد مانند نمونه نشان دهید. / = 8 = ٣

50 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری مانند نمونه با استدالل مشخص کنید که هر ریشه بین کدام دو عدد صحیح متوالی است. < 5< < پس < 8 5 < 5. همچنین چون 8 الف( چون >6 0 > 5 پس < 6 0 > > 0 ج( > > 7 ب( > 0 > ه( > 7 > د( 4 کدام عبارت درست و کدام نادرست است با تقریب کمتر از الف( 0 با تقریب کمتر از ب( = / 5 ج( 6 = 00 با تقریب کمتر از 0/ د( = 4 00 با تقریب کمتر از 5 زیر رادیکال )جای خالی( عدد یا عددهایی بگذارید که نامساویها برقرار باشند. > 4 الف( > 5 > 9 ب( >0 6 سه مکعب تو در تو مانند شکل مقابل واقع شدهاند. حجم مکعب بیرونی )بزرگ( برابر 64 و حجم مکعب داخلی )کوچک( 7 میباشد. طول ضلع مکعب میانی چه عددهایی میتواند باشد. فعالیت مانند ریشه های دوم و سوم می توان ریشه چهارم را تعریف کرد. با هرتساوی توانی یک تساوی رادیکالی داریم: 4 =6 )-( 4 =6 ریشه های چهارم 6 - ریشه های چهارم =65 )-5( 4 = عددی مثبت است و برابر است با ریشه چهارم مثبت عدد 65 یعنی = همچنین 4 65 عددی منفی است و برابر است با ریشه چهارم منفی عدد 65 یعنی 5 = آیا 6- ریشه چهارم دارد آیا عددی منفی یا مثبت هست که وقتی به توان 4 برسد برابر 6- شود اکنون عبارت را کامل کنید. هر عد مثبت دارای... ریشه چهارم است که... یکدیگرند. عددهای منفی ریشه چهارم ندارند. 50

51 درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی کار در کالس جاهای خالی را در جدول تکمیل کنید. 6 عدد ریشه های چهارم جاهای خالی را در جدول تکمیل کنید. - عدد ریشه پنجم = = ریشه پنجم چه عددهایی با خودشان برابر است 4 محاسبه کنید. 5 = 5 0 / 000 = 5 عبارت را کامل کنید. هر عدد مثبت یا منفی دارای... ریشه پنجم است. اگر عدد مثبت باشد ریشه پنجم آن مثبت است و اگر عدد منفی باشد ریشه پنجم آن... است. نکته: وقتی می نویسیم 5 عدد 5 را فرجه رادیکال می نامیم. مشابها در 8 عدد را فرجه می گوییم. فرجه را نمی نویسیم مانند 6 تمرین برای هر عدد رادیکالی زیر اگر حاصل آن یک عدد صحیح است جواب را بنویسید و در غیر این صورت دو عدد صحیح متوالی بنویسید که عدد رادیکالی مورد نظر بین آنها باشد مقدار تقریبی هر کدام از اعداد رادیکالی زیر را با تقریب کمتر از 0/ مشخص کنید

52 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری با توجه به آنچه در مورد ریشه سوم اعداد درک کردهاید. به سؤالهای زیر پاسخ دهید. الف( 9 عددی مثبت است و a. a > a عدادی میتواند باشد ب( a عددی است که ریشه سوم آن با خودش برابر است یعنی. a = a a چه اعدادی میتواند باشد ج( a عددی مثبت است و a. a < a چه اعدادی میتواند باشد د( به موارد )الف( و )ج( برای حالتی که a عددی منفی باشد نیز پاسخ دهید. 4 هر یک از اعداد مشخص شده روی محور باال را به یکی از نقاط مشخص شده روی محور پایین که متناظر با ریشه سوم آن عدد میباشد وصل کنید. a 4 a 0 a a b a c b a 4 c b a c b a c 5 در محورهای زیر توسط یکی از رنگ ها اعداد جدول پایین به ریشه های سوم نود در جدول باال وصل شده اند. توسط یکی از رنگ ها به ریشه های چهارم و توسط یکی از رنگ ها به ریشه های پنجم خود وصل شده اند. مشخص کنید هر رنگ مربوط به کدام ریشه است جاهای خالی را پر کنید. الف( اعداد و... ریشههای چهارم عدد... میباشند. در این صورت حاصل عبارت 5+ a را بیابید. ب( اگر = a ج( با فرض اینکه میدانیم = 4 x حاصل x را بیابید. 7 میدانیم = بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد 8 در جاهای خالی یکی از عالمتهای > < و یا = را قرار دهید. )-0/( 5 )-0/( ) 0/( 5 )0/( ( 5 )-( 5 )-( 4 )- ( 5 )-( 5 0/ /

53 درس اول: مجموعه های متناهی و نامتناهی n 9 یک عدد طبیعی است و داریم = n n چه اعدادی میتواند باشد ( 5 5 در مورد 0 قرار دهید = a 5.اکنون با توجه به تعریف مشخص کنید 5 برابر چه عددی است بنابراین داریم = (a a) 4 ( 4 چه میتوان گفت 4 گفته شد که x همان ریشه چهارم عدد x است و عددهای منفی ریشه چهارم ندارند. پس x میبایست عددی مثبت و یا صفر باشد. 4 اکنون در عبارت ab مشخص کنید که به ازای کدام مقدار a و b این عبارت معنی دارد برای مثال الف( وقتی a و b هر دو مثبت باشند. ب( وقتی... 5

54 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری درس دوم: ریشه n ام فعالیت مشابه آنچه که برای ریشه های دوم سوم چهارم و پنجم ذکر شد می توان برای سایر ریشه ها مثال ریشه ششم عمل کرد. جدول زیر را که مربوط به ریشه های مختلف عدد 64 می باشد کامل کنید. ریشه های هشتم ریشه هفتم ریشه های ششم ریشه پنجم ریشه های چهارم ریشه سوم ریشه های دوم = 8 64 و 4 64 و = 8 ریشه های ششم عدد 64 اعداد 6 64 و 6 64 ویا همان و هستند زیرا =64 6 و =64 6 ( ) در مورد ریشه های هفتم و هشتم عدد 64 چه می توانید بگویید به طور کلی اگر n در مورد ریشه n ام عدد 64 چه می توان گفت در حالت کلی تر اگر a یک عدد مثبت باشد و n در مورد تعداد ریشه های n ام a چه می توان گفت جدول زیر را که در مورد ریشه های مختلف عدد 64- است تکمیل کنید. ریشه هشتم ریشه هفتم ریشه ششم ریشه پنجم ریشه چهارم ریشه سوم ریشه دوم وجود ندارد وجود ندارد 64 = ریشه های زوج 64- وجود ندارند زیرا عددی وجود ندارد که به توان برسد و مساوی 64- شود. در مورد ریشه های n ام 64- ( ) n بحث کنید. اگر a یک عدد منفی و n در مورد ریشه n ام a چه می توان گفت اگر n یک عدد طبیعی باشد b را یک ریشه n ام عدد a می نامیم.هرگاه: b n a= 54

55 جدول زیر را کامل کنید. در ستون آخر مثالی ارائه کنید. درس دوم: ریشه n ام a <0 n زوج n فرد است a دارای دو ریشه nام n a و n a است 8 دارای دو ریشه چهارم = 8 4 و = 8 4 a = 8 n = 4 a = n = a >0 n زوج n فرد ریشه nام وجود ندارد a = n = a = n = کار در کالس حاصل هر عبارت را به دست آورید: = = 8 = 56 = = 65 = 6 = = 5 8 = 0/ 00 = = = چه حدسی می زنید درستی حدس خود را در مورد چند عدد آزمایش کنید الف( میدانید که x x = در مورد x ب( کدام یک درست محاسبه شده است 6 6 ( ) = = ( ) = ( ) = = ( ) = n n a = فرد باشد n و اگر n n ج( بهطور کلی اگر n زوج باشد... = a د( مثالی ارائه دهید که نشان دهد تساوی زیر همیشه درست نیست! n n a = n ( a) n ه ) در قسمت )د( تساوی به ازای چه مقادیری برای a و n برقرار است فعالیت در سال نهم دیدید که: = برای هر دو عدد مثبت a و b: a b ab a b = ab برای هر دو عدد a و : b آیا رابطه باال در مورد 4 4 a نیز برقرار میباشد مثال بزنید. b 55

56 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری با توجه به اینکه 4 یک عدد زوج است باید a و b باشند = =... a b = ab =... = در مورد a b = ab چه میتوان گفت! آیا a و b حتما باید مثبت باشند مثالی از a و b مثبت و مثالی از a و b منفی ارائه کنید و نشان دهید تساوی همواره برقرار است. بهطور کلی داریم: n n n ab a,b<0 و n زوج a b n,a b دلخواه و n یک عدد طبیعی فرد قرار داد: به طور کلی این قرار داد را اعمال می کنیم: = ab وقتی می نویسیم n a و n را زوج فرض می کنیم a را مثبت یا برابر صفر در نظر می گیریم. لذا باید به یاد داشته باشیم که ریشه های زوج برای عددهای منفی بی معنی هستند. پس هرگاه x پس تساوی های فوق را به صورت فشرده این طور می توانیم بیان کنیم: نوشتیم از آن می فهمیم که 0 x n n n a b = ab کار در کالس یکی از عالمت های > < و یا = را قرار دهید. ( ) 5 ) ( ب( 5 4 ) ( و ( ) الف( 5 با هم برابرند در مورد ) ( چه میتوان گفت ) 5 ( و آیا n n n a b = ab با توجه به اینکه ( ) = = 5 4 درستی رابطه = k m k a ( (a m را با مقداردهیهای مختلف به m k و a بررسی کنید. )اگر k زوج باشد a باید مثبت باشد(. 56

57 تمرین الف( یکی از عالمت های < یا > را در قرار دهید. درس دوم: ریشه n ام )0/5( )0/5( 5 0/ 5 0 / 5 0/ 5 0/ 5 a a a a a a a a a a 5 a a a a a ب( وقتی <a<0 یکی از عالمت های مقایسه را در قرار دهید a فرض کنیم -=a در عالمت مناسب را قرار دهید. 5 a 5 a 5 a a فرض کنیم 0<a<- عالمت مناسب را قرار دهید. 4 فرض کنیم -<a عالمت مناسب را قرار دهید. فعالیت n به جای a و n مقدارهای عددی قرار داده و نتیجه را به دست آورید. مانند نمونه ها: 4 4 n=4, a=- ( ) = )= - ( 4 4 n=4, a=- ( ) = )= - ( n=, a=- ( ) n=, a=- ( ) = = n=4, a= = 6 = )= ( 4 4 a=6, n=4 ( ) = = n در عبارت a n در عبارت ( a بهجای a و n مقدارهای عددی قرار داده و نتیجه را بهدست آورید a=-8, n= ( ) ( ) 8 = = 8 ) n a=8, n= ( ) = = 8 8 از )( و )( چه نتیجه ای می توان گرفت 57

58 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری تمرین ( نشان دهید برای هر عدد a و هر عدد طبیعی n )به شرط با معنی بودن رادیکال( n ( ) n a = a b n با توجه به تعریف ریشه )اگر n a = b آنگاه = a n n n برقرار است n را برابر 4 یا 5 بگیرید و به جای a وb مقدارهای عددی بدهید. a b a b آیا تساوی + = + عددهای زیر را مانند نمونه محاسبه کنید. 5 = = 5 = = 7 = = 4 به جای a و b و عدد طبیعی n عددهایی قرار دهید به طوری که : برقرار باشد. n a b n n a الف( تساوی = برقرار نباشد. )وقتی n زوج است a و b هر دو مثبت اند(. n a b b n n a ب( تساوی = b 58

59 درس سوم: توان های گویا درس سوم: توان های گویا عبارتهایی مانند ) ( و ) 4 ( با پایه فعالیت پدر محمد یک زیستشناس است و در یک آزمایشگاه پزشکی کار میکند. در یک آزمایش یک نوع باکتری کشت داده شده که در شرایط مساعد وزن این باکتریها در هر ساعت برابر میشود. وزن باکتریها در لحظه شروع گرم است لذا وزن باکتریها پس از یک ساعت گرم پس از ساعت برابر 4 گرم و پس از ساعت n ام برابر n گرم میشود:,,,,, n محمد از پدرش پرسید آیا حتما تا پایان ساعت باید منتظر بمانیم آیا میتوانیم وزن باکتریها را پس از نیم ساعت محاسبه کنیم پدرش گفت: تو فکر میکنی وزن باکتریها پس از نیم ساعت چقدر شده است گرم شده باشد. چون نیم همان است. محمد گفت: حدس میزنم وزن آنها پدرش گفت: چقدر است محمد گفت: نمیدانم ولی باید بتوانیم مقدار آن را پیدا کنیم. اگر فرض کنیم در هر نیمساعت تعداد باکتریها b برابر شود در اینصورت بعد از یک ساعت وزن باکتریها باید برابر b * b = b شده باشند. اما میدانیم پس از یک ساعت تعداد باکتریها دو برابر میشوند پس = b یعنی = b )زیرا b مثبت است(. نتیجه جالبی است! =. مشابه این میتوانیم برای توانهای دیگر نیز تعریف کنیم:. میتوانیم نماهای کسری 4 4 = همچنین برای عددهای دیگر = 5 5 = با صورت را تعریف کنیم a عددی حقیقی و مثبت است. منفی در این سطح تعریف نمی شوند! n عدد مثبت a را چنین تعریف می کنیم. برای هر عدد طبیعی n توان a n = n a 59

60 = 5 = = 7 5 = فصل : توان های گویا و عبارت های جبری فعالیت توان های کسری زیر را در صورت امکان به شکل رادیکال بنویسید. 4 4 = ( ) 5 = 4 6 = ( 5 ) 4 = 5 کدام درست است ب( ) ( الف( = 5 = فعالیت اگر صورت کسر غیر از یک باشد چه می شود پرسش بسیار خوبی است. در ریاضیات برای هر پرسش معقولی باید پاسخ مناسبی ارائه دهیم. در بحث توان با نماهای طبیعی یادتان هست چگونه عمل کردیم: )قاعده ضرب توان( ( =) * = 6 می توانیم از این قاعده پیروی کنیم: = = ( ) = هرگاه 0> a برای هر دو عدد طبیعی m و n توان کسری a را چنین تعریف می کنیم: a m n n m = a ( ) ج( و( اکنون شما اعداد توان دار را در صورت امکان به شکل رادیکال بنویسید. ب( 7 4 الف( 5 5 د( ) 7 6 ( ه( 6 اگر r و s دو عدد گویا باشند قواعد توان برای اعداد گویا مانند اعداد صحیح برقرار بوده و داریم: ) r s r s a a = a + r s rs ) (a ) = a ) (a b ) r = a r b r 60

61 کار در کالس تساوی های زیر را مانند نمونه به صورت رادیکالی بنویسید. درس سوم: توان های گویا = = = = = 5 4 = = 4 5 = ( 6 ) 4= 7 = = = 7 5 = 4 = ( 4 ) 68 = 5 5 = رادیکال ها را در صورت امکان به شکل توان کسری بنویسید. 5 = 7 = = 5 9 = 5 64 = 7 = = میدانیم توان منفی هر عدد برابر معکوس توان مثبت آن عدد است: a 4 n = ) a<0( n a = = = = اکنون محاسبه کنید: 5 = 00 = 5 = 000 = 7 = 4 5 = m n a nm = a نتیجه بگیرید m n a و mn k k که در آن 0> a. با توجه به عبارتهای a فعالیت )0>a( تساوی ها را کامل کنید m n a می دانیم ( a) = a اکنون با استفاده از نمای کسری نشان دهید که = nm a m m n n n m mn a = a = (a ) = a = دبیر: بهخاطر دارید که حاصل یک رادیکال با فرجه زوج همواره عددی مثبت است. مثال = 8 4 گفتیم a باید مثبت باشد. ) ( 4 را بهدست آورید. بهعالوه در تعریف نمای کسری a n باید a عددی مثبت فرض شود. اکنون 4 نسترن:خانم اجازه اگر جای توانها را مانند توانهای طبیعی عوض کنیم چه اشکالی دارد دبیر: این کار را انجام میدهم خودت اشکال را پیدا کن! 4 4 ( ) 4 ( ) = 4 = ( ) = ( ) = ( ) = a n 4 نسترن: خانم ببخشید فکر کنم متوجه اشکال کار شدهام. ما حق نداریم بنویسیم ) 4 ( چون در تعریف دبیر: آفرین کامال درست است. حاال چه کار کنیم حمیده: خانم اجازه بهتر است اول )-( 4 را حساب کنیم یعنی ( ) = 8 =

62 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری دبیر: آفرین حمیده جواب شما درست است. البته می توانید همان گونه که قبال گفتیم چون 4 عددی زوج است از الگوی زیر نیز استفاده کنید. 4 4 ( ) = = 4 با با توجه به فعالیت در صفحه قبل تساوی ها را کامل کنید. ( 5 ) = ( 5) = 5 = = = 5 الف( 7 57 ( 4 7 ) 5 = ( 4) 5 = 5 = 4 = 4 5 = ب( ج( اکنون برای هر عدد 0>a به ازای هر دو عدد گویای غیرصحیح r و s درستی تساوی )ar ( s a= rs را برای = 4 r و = s تحقیق کنید. 4 (a 4 ) 4 = ( a) = = a 6 = = a 7 = 5 = 5 = = 5 = تمرین هر یک از توان های کسری زیر را به صورت رادیکال بنویسید 47 = ( 4 ) = 4 = 7 = هر یک از رادیکال ها را به صورت توان کسری بنویسید: توجه داشته باشید که نمای کسری وقتی معنی دارد که پایه عدد مثبت باشد. 4 a = a 5 a 4 = a5 = a 4 7 = 4 a = n a = 5 0 = a = a6 = a = a a = (a ) = a = a = a می دانیم kn a همواره برقرار است ) a<0 ( توضیح دهید n m و k طبیعی هستند. نتیجه بگیرید که هر سه عدد = n a آیا تساوی m و 6 برابرند. s و = s مقدارهای عددی و a r-s را محاسبه کرده و با هم مقایسه کنید. a 4 فرض کنیم a=64 r = a r-s r را محاسبه کرده و با هم مقایسه a اکنون خودتان مانند نمونه سه مقدار دیگر برای r a و s انتخاب کنید و بار دیگر مقدارهای و s a کنید. میتوانید از ماشین حساب کمک بگیرید.چه نتیجهای میگیرید 5 حساب کنید. a r 5 = 64 = 8 6 فرض کنیم > a >.0 نشان دهید.a < a آیا برای هر عدد طبیعی. a n < a n- n )راهنمایی: n- a n -a را ساده کنید( 7 هرگاه < a نشان دهید برای a n < a n- n )راهنمایی: میدانیم c<d در صورتیکه d-c<0 و برعکس( 6

63 درس چهارم: عبارت های جبری درس چهارم: عبارت های جبری فعالیت سال گذشته با برخی از اتحادهای جبری آشنا شده اید. می توانید بگویید چرا به تساوی ) a+b( = a + ab + b ) ( اتحاد گفته می شود در حقیقت می توان a و b را در دو طرف با هر دو عدد دلخواه جایگزین کرده و برای دو طرف یک عدد به دست آورد برای مثال اگر = 5 a و b= اختیار شود. ( + ) = ( ) ( ) = = یا آنکه اگر به جای b- b قرار دهیم به دست می آوریم. )a-b( = a - ab + b )( گاهی هم دو اتحاد )( و )( را با هم می نویسیم: )a ± b( = a ± ab + b ) ( اکنون شما می توانید اتحادهای دیگری به دست آورید. با محاسبه )a+b( اتحاد دیگری به دست می آید که به اتحاد مکعب مجموع مشهور است. جای خالی را در محاسبه تکمیل کنید. )a+b( = )a+b( )a+b( =) ()a+b( = که با جمع جمالت متشابه در دو طرف دوم اگر درست عمل کرده باشید به صورت زیر در می آید. )a+b( = a +a b + ab + b میتوانیم b را در سرتاسر اتحاد فوق به b- تبدیل کنیم و اتحاد دیگری بهدست آوریم: )a-b( = a +a )-b( + a)-b( +)-b( )a-b( =a - + -b 6

64 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری یک بار دیگر )a-b( را از راه دیگر و با استفاده از اتحاد مربع تفاضل یعنی اتحاد شماره )( محاسبه کنید. )a-b( = )a-b( )a-b( =) ()a-b(= اگر ابتدا طرف دوم هر یک از اتحادهای 4 گانه فوق را بنویسیم مثال a -a b+ab -b =)a-b()a-b()a-b( )4( گوییم عبارت سمت چپ یعنی a a- b+ab b- را به حاصلضرب سه عبارت سمت راست تجزیه کردهایم. هر یک از عبارتهای a-b را در )4( یک عامل تجزیه مینامیم. ممکن است عاملهای تجزیه مساوی نباشند. الف( a b- را به عاملها تجزیه کنید. ب( a 4 b- 4 را تجزیه کنید. یادآوری اتحادهایی که سال قبل خوانده اید. (a ± b) = a ± ab+b )a-b)(a+b( = a -b )a+b+c( = a +b +ab+c +bc+ca (a+x)(a+y)=a +(x+y)a+xy کار در کالس حاصل عبارتهای زیر را بهدست آورده و ساده کنید. )a+b()a -ab+b (=a -a b+ab + )a-b()a +ab+b ( = با استفاده از پرسش عبارتهای a b+ و a b- را تجزیه کرده و اتحادهای جدیدی بهدست آورید. عبارتهای زیر را مانند نمونه تجزیه کنید. 8x -7=)x( - =(x-)[(x) +x + ] =)x-()4x +6x+9( x += x -8= x -5= x 6 -= (a + b)(a - ab + b ) = a + b (a - b)(a + ab + b ) = a -b فعالیت واژههای مضرب و شمارنده را در حساب اعداد بهخاطر دارید: =*4 هر یک از عددهای و 4 را یک شمارنده عدد و عدد را مضرب هر یک از این عددها مینامیم. شمارندههای دیگری نیز دارد از جمله خود عدد. عدد مضربهای دیگری دارد از جمله خود عدد و همچنین هر یک از عددهای و. 64

65 درس چهارم: عبارت های جبری مشابهاین در اتحاد مزدوج a -b =)a-b()a+b( هر یک از عبارتهای a-b و a+b یک شمارنده a b- است. همچنین a b- هم مضرب a-b و هم مضرب a+b است. آیا a+b مضرب دیگری دارد مضربهای هر عبارت جبری و یا یک چند جملهای از ضرب آن عبارت در عددهای صحیح و یا عبارتهای جبری دیگر )و یا همزمان در هر دو( بهدست میآیند: و )a+b)(a-b( و -4)a+b( و )a+b)(a+b( و )a+b( و : a+b بعضی از مضربهای a+b شما بعضی از مضربهای a-b را بنویسید. دو عبارت بنویسید که a-b شماره هر یک از آنها باشد. عبارت - 7a مضرب کدام یک از عبارتها میباشد. الف( a- ب( a- ج( +a+ 9a د( a+ نکته: عبارت )a+b( یک مضرب a+b محسوب نمیشود. ضرایب عددی فقط میتوانند عدد صحیح باشند. 4 کدامیک از عبارتهای زیر گویا هستند. ب( + xx الف( 7 x + x د( x ج( x x نکته: یک عبارت گویا به ازای مقدارهایی از متغیر که مخرج آن صفر میشود تعریف نمیگردد. )مقدار ندارد( 5 عبارت گویای زیربه ازای چه مقدارهایی از x تعریف نمیشود + x x+ x + 4 x + x + + x 6 حاصل کسرهای زیر را به دست آورید و ساده کنید. الف( + + x x+ x x + ب( مثال حاصل عبارت زیر را به دست آورید. (( x ) + x + ) + = + = x x ( x )(( x ) + x + ) x ( x ) + x + (( x ) + x + ) + (x + ) + = x x (x ) 65

66 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری کار در کالس صورت و مخرج هر کسر را تجزیه کرده و عبارت را ساده کنید. )جاهای خالی را پر کنید( )الف x x )ج 4 x 6 x + + x ( ب )د )ه x (x ) 7 y y y + y + y 5 4 y y y y(y y ) y(y 4)(y + ) = = = 8y + 6y 8y(y + ) 8y(y + ) a +=)a+()a -a+( ( x ) + = ( x + ) =) ( =) ( x + = ( x + ) در اتحاد a و حاصل را بازنویسی کنید: = x قرار دهید )گویا کردن مخرجهای گنگ( صورت و مخرج کسرهای زیر را مانند نمونه در عبارتهایی ضرب کنید که عبارت مخرج تبدیل به یک عبارت گویا شود. ( x ) x + = x + ( x + )(( x ) x + ) = x = x = x + = x y = x+ y = x + y 4 x x + x + ) x ( x x + y y = 66

67 تمرین هر یک از عبارت ها را تا حد ممکن )به عبارت های گویا( تجزیه کنید. الف( x 6 -y 6 ب( x 4 -y 4 ج( x +y درس چهارم: عبارت های جبری مخرج کسرهای زیر را گویا کنید. د( x x + x 5 + x x + y ج( x ب( x y الف( بعضی از ضرب های عددی را با استفاده از اتحادها می توان ذهنی حساب کرد. مانند نمونه بقیه ضرب ها را ذهنی انجام دهید. 6*4 = ( 5 + )( 5 ) = 5 الف( 4= ب( 05 )اتحاد اول( ج( 007 )اتحاد اول( ج( 99 4 کسرها را گویا و سپس به یک کسر تبدیل کنید. x + x + 4 x + 8 x خواندنی سه عدد 4 و 5 را یک سه تایی فیثاغورسی می نامیم زیرا 5 =4 + یک سه تایی دیگر مثال بزنید. چند تا از اینگونه سهتاییها را میتوانید شناسایی کنید )جادوی توان( محاسبات نشان میدهد )/0( 65 =7/8 )0/99( 65 =0/0 چرا اینقدر اختالف است حال )/0( 70 و )0/99( 70 را محاسبه و مقایسه کنید. اگر هر روز اندکی کار خود را نسبت به روز قبل بهتر کنیم در سال حدود 40 برابر راندمان کار افزایش مییابد. شما هم داستانی در باب توانها بنویسید. )مثلث خیام( )a+b( =a +ab+b 67

68 فصل : توان های گویا و عبارت های جبری )a+b( =a +a b+ab +b )a+b( 4 =)a+b( )a+b( = ) ()a+b( = چه رابطه ای بین ضرایب در بسط اتحادها و سطرهای مثلث خیام وجود دارد. می توانید توان چهارم دوجمله ای را حساب کرده و ضرایب بسط را مشخص کنید. 68

69 فصل معادالت و نامعادالت 4 درس اول معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن حل آن درس دوم سهمی درس سوم تعیین عالمت

70 فصل : معادالت و نامعادالت درس اول: معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن صبا بعد از حل یک مسئله هندسه به نکته جالبی پی برد. او متوجه شد که اضالع مثلث مسئله او سه عدد متوالی 4 و 5 هستند و این مثلث قائم الزاویه است )چرا ( از خواهر بزرگ تر خود درسا سؤال کرد که آیا می توان مثلث قائم الزاویه دیگری پیدا کرد که اضالع آن سه عدد متوالی دیگر باشند برای پاسخ به این سؤال درسا مثلث قائم الزاویه ای رسم کرد و طول کوچک ترین ضلع آنرا x و طول اضالع دیگر را اعداد متوالی بعد از x یعنی +x و +x در نظر گرفت و به کمک رابطه فیثاغورس رابطه زیر را بین سه ضلع مثلث به دست آورد: x x+ x+ x + ) x +( = ) x + ( اکنون او می خواست معادله به دست آمده را حل کند یعنی مقادیری برای x پیدا کند که تساوی باال را برقرار کنند. برای این کار معادله باال را ساده کرد و آنرا به شکل 0=-x- x نوشت. هر معادله به این صورت را که پس از ساده شدن بزرگ ترین توان متغیر آن باشد معادله درجه دوم می نامیم. هر معادله به شکل ax + bx + c =0 ) a 0( که در آن b a و c اعداد حقیقی هستند را یک معادله درجه دوم می نامیم. در این بخش تعدادی از روش های حل این معادله را ذکر می کنیم. 70

71 درس اول: معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن میدانیم که تجزیه یک عبارت به معنای تبدیل آن به حاصل ضرب حداقل دو عبارت است. از جمله تجزیه هایی که در حل معادله درجه دوم استفاده می شوند عبارتند از: ( فاکتورگیری: ax + bx = x(ax + b) ( تجزیه به کمک اتحاد مزدوج: x a = (x a)(x + a) ( تجزیه به کمک اتحاد جمله م ش ت رک: x + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) حل معادلۀ درجه دوم به روش تجزیه فعالیت معادله درجه دوم = 0 - x- x که درسا در بخش قبل به آن رسید را درنظر بگیرید. با تجزیه سمت چپ معادله باال جای خالی را با عدد مناسب پر کنید. ویژگی حاصل ضرب صفر )x + ( )x - ( = 0 اگر A و B دو عبارت جبری باشند و AB=0 آنگاه حداقل یکی از این دو عبارت صفر است یعنی: AB=0 یا A=0 B=0 از ویژگی باال استفاده کنید و جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پر کنید. )x+()x- ( =0 یا x+=0 x- = 0 x = یا - x = برای اطمینان از صحت جوابهای حاصل شده میتوانیم هر دو جواب بهدست آمده را در معادله قرار دهیم و آنها را آزمایش کنیم. یکی از جوابها آزمایش شده است جواب دیگر را آزمایش نمایید. x=- x -x-=0 )-( -)-(-? =0 +-? =0 0=0 x = x -x-=0? =0? =0 =0 آیا هر دو جواب این معادله می توانند طول اضالع مثلث قائم الزاویه ای باشند که قبال روی آن بحث شده است توضیح دهید. کار در کالس معادالت درجه دوم زیر را به روش تجزیه حل کنید و جواب های خود را آزمایش کنید. الف( -x=0 x ب( -t=0 t 7

72 فصل : معادالت و نامعادالت حل معادلۀ درجه دوم به کمک ریشه گیری فعالیت معادله درجه دوم 5= x را درنظر بگیرید. جواب های این معادله را به روش تجزیه به دست آورید. از دو طرف معادله = 5 x ریشههای دوم را محاسبه کرده و این معادله را به شکل 5 ± = x مینویسیم. این معادله را به روش تجزیه نیز حل کنید و جواب های بدست آمده را با این جواب ها مقایسه کنید. اگر x = a یک معادله درجه دوم باشد که در آن a یک عدد حقیقی است آیا همیشه میتوان جوابهای آنرا بهصورت x ±= a نوشت توضیح دهید. اگر a یک عدد حقیقی نامنفی)بزرگتر یا مساوی صفر( باشد ریشه های معادل ه درجه دوم x = a عبارتنداز: x=- a و x= a مثال یک دستگاه برش از صفحات مقوایی به شکل مربع چهار مربع کوچک در گوشه های آن را برش زده و از آن جدا و سپس با تا زدن لبه ها یک جعبه ایجاد می کند. اگر مربع های جداشده به ضلع سانتی متر باشند و بخواهیم حجم این جعبه 00 سانتی متر مکعب باشد طول اضالع کاغذهایی که باید برای این کار انتخاب شوند را به دست آورید. x x حل: از مقوایی که در شکل سمت چپ رسم شده چهار مربع به ضلع سانتی متر جدا می کنیم تا جعبه ای که سمت راست رسم شده به دست آید. حجم این جعبه عبارتست از: )x) (x( )( = x = ارتفاع * عرض * طول 7

73 از آنجا که حجم جعبه 00 سانتی متر مکعب باید باشد داریم 00 = x. بنابراین... = x و با محاسبه ریشه های دوم این معادله جواب های...= x به دست می آید. و چون طول نمی تواند منفی باشد تنها...=x مورد قبول است و طول ضلع مربع اولیه... = =... + x سانتی متر می باشد. درس اول: معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن کار در کالس جواب هر یک از معادالت زیر را در صورت وجود به روش ریشه گیری به دست آورید. الف( =0 5x ب( +7=0 t ج( =6 )r-( حل معادلۀ درجه دوم به روش مربع کامل x فعالیت دو جمله ای x 6x+ را درنظر بگیرید. چه عددی باید به این دو جمله ای اضافه شود تا چند جمله ای حاصل به شکل مربع کامل نوشته شود جاهای خالی را با اعداد مناسب پر کنید. x x + 6x + = )x + ( اعدادی که در جاهای خالی نوشته اید چه ارتباطی با شکل روبرو دارند... اگر a یک عدد حقیقی باشد به دو جمله ای x + ax چه جمله ای باید اضافه شود تا به شکل مربع کامل درآید جاهای خالی را با عبارت های مناسب پر کنید. x a x + ax + = )x + ( x x ax مثال معادله 0=4+ 6x- x را به روش مربع کامل حل می کنیم. معادله درجه دوم =0 +4-6x x a ax x -6x= -4 x -6x +... = به دو طرف معادله 4- را اضافه کردهایم به دو طرف معادله...را اضافه کردهایم تا سمت چپ مربع کامل شود )x-( = 5 سمت چپ را به شکل مربع کامل می نویسیم ± = -x 5 از دوطرف معادله ریشه دوم می گیریم ± = x 5 به دو طرف معادله عدد را اضافه کردهایم -. + و 5 بنابراین جوابها یا ریشههای این معادله عبارتند از 5 7

74 فصل : معادالت و نامعادالت کار در کالس معادالت زیر را به روش مربع کامل حل کنید. الف( =4 +x x ب( = +t t ج( =0 +5-4n n د( 0 = - +r r حل معادلۀ درجۀ دوم به روش فرمول کلی فعالیت در بخش های قبل روش هایی برای حل معادالت درجه دوم فرا گرفته اید. اکنون می خواهیم یک فرمول کلی برای حل معادله درجه دوم 0= +bx+c ax که در آن 0 a است پیدا کنیم. دانش آموز: آیا با روش مربع کامل می توان هر معادله درجه دوم را حل کرد معلم: بله همین طور است. برای حل معادله 0= c ax + bx + با این روش مراحل زیر را انجام می دهیم: ax + bx + c = b c x + x a + a = x + b c x a = a b c x + x a + = a + b b ac (x + ) = 4 a 4a دو طرف معادله را بر a تقسیم میکنیم به دو طرف معادله... را اضافه کردهایم به دو طرف معادله... را اضافه کردهایم تا سمت چپ مربع کامل شود دو طرف را ساده کردهایم. b D (x + ) = a 4a پس: اکنون قرار میدهیم D = b 4 ac آیا می توانید با ریشه دوم گرفتن از دو طرف این معادله جواب های آنرا به دست آورید D < دانشآموز: اگر باشد از سمت راست نمیتوان ریشه دوم گرفت. معلم: آفرین. پس اگر یک عدد منفی باشد معادله درجه دوم ریشهای ندارد. اگر 0> باشد آیا میتوانید ریشههای این معادله را بهدست آورید b D b± x+ =± x = a a a D ریشه دوم بگیریم: b (x + ) = a 4a دانش آموز: بله. کافیست از دو طرف معادله 74

75 دانش آموز: اگر 0= باشد آیا این معادله ریشه ای دارد معلم: بله و این ریشه از رابطه زیر به دست می آید: درس اول: معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن b (x + ) = a 4a b b b (x + ) = 0 x + = 0 x = a a a x دارد. b a = دانش آموز: پس در حالت 0= معادله تنها یک ریشه به صورت به دست آمده است و چون b b b (x + ) = (x + )(x + ) = 0 a a a b b x + و =0 x + =0 a a معلم: این ریشه از معادله جواب یکسان دارند به جواب مشترک آنها ریش ه هر دو معادله مضاعف یا ریشه مکرر مرتبه دوم میگوییم. فعالیت با توج ه به فعالیت باال جاهای خالی را با عبارت های مناسب پر کنید. <0 ax + bx + c = 0 = b -4ac = b x = a معادله یک ریشه حقیقی دارد: >0 کار در کالس معادالت زیر را با فرمول کلی حل کنید. الف( = 0 + x x - ب( = 0 + x -x + ج( x + 4x 4 = 75

76 فصل : معادالت و نامعادالت مثال از یک رشته سیم به طول 50 متر می خواهیم یک مستطیل به مساحت 44 متر مربع بسازیم. طول و عرض این مستطیل را مشخص می کنیم. حل: اگر طول و عرض این مستطیل برابر با s و t باشند با توجه به اینکه محیط آن 50 متر است پس = 50 )t s(. + از ساده کردن این معادله به معادله = 5 t s + می رسیم بنابراین. t = 5 - s از سوی دیگر = 44.st با جایگذاری tبرحسب s در این معادله به شکل = 44 )s s 5( - می رسیم که بعد از ساده شدن معادله ی درجه دوم 0= 44+ 5s sحاصل - می شود. در این معادله =44 c. a =, b = -5, بنابراین = b -4ac = )-5( -4)()44( = = 49 پس 0> و معادله دو ریشه حقیقی دارد که به صورت زیر به دست می آیند: b ± s = = = = 6 a b s = = = = 9 a s s = 6 t= 5 6 = 9 = 9 t = 5 9 = 6 و چون t 5= - s پس برای t نیز دو جواب به دست می آیند: بنابراین در هر حالت یک مستطیل با اضالع 9 و 6 سانتی متر به دست می آید. t s تمرین معادالت زیر را به کمک تجزیه حل کنید. ( x -x = -0 ( 5t =0 ( 5a -7a = a )a - ( 4( 4k -k+8=0 هر یک از معادالت زیر را با ریشه دوم گرفتن حل کنید. ( n -=6 ( x + = ( )t-( =4 4( -k =k )k-( معادالت زیر را به روش مربع کامل حل کنید. ( x -6x =7 ( s -s + =0 ( r +4r+4=0 4( a + 5a - =0 76

77 درس اول: معادله درجه دوم و روش های مختلف حل آن 4 هر یک از معادالت زیر را با روش فرمول کلی حل کنید. ( 4x -x + =0 ( r - r = ( a + a = 9 4( t t = 0 5 هر یک از معادالت زیر را به روش دلخواه حل کنید. ( x =50 ( 9-6z + z =0 ( 4a +a = 4( b + b 4= 0 4a + 6 مجموع مربعات دو عدد فرد متوالی 90 می باشد. این دو عدد را پیدا کنید. a 7 طول یک مستطیل سانتی متر بیشتر از 4 برابر عرض آن است. اگر مساحت این مستطیل 45 سانتی متر مربع باشد ابعاد این مستطیل را مشخص کنید. 8 سن دو برادر 4 سال با یکدیگر اختالف دارد. اگر چهار سال دیگر حاصل ضرب سن آنها 60 شود سن هر کدام را به دست آورید. x x 5 x 0 x 9 یک عکس با سایز 0 در 5 سانتی متر درون یک قاب با مساحت 00 سانتی متر مربع که شامل عکس نیز هست قرار دارد. اگر فاصله همه لبه های عکس تا قاب برابر باشد ابعاد این قاب عکس را پیدا کنید. 0 در یک لیگ والیبال 45 بازی انجام شده است. اگر هر تیم با دیگر تیم های لیگ تنها یک بازی انجام داده باشد تعداد تیم های این لیگ را به دست آورید. اگر تعداد بازی های لیگ N و تعداد تیم ها n باشد مدلی برای تعداد بازی ها به دست آورید. فشار خون نرمال یک شخص مذکر که بر حسب میلی متر جیوه )mmhg( اندازه گیری می شود توسط رابطه 0+s 0/006=P s 0/0- بیان می شود که در آن P فشار خون نرمال یک فرد با سن s می باشد. سن شخصی را به نزدیک ترین سال پیدا کنید که فشار خون آن 5 میلی متر جیوه باشد. )از ماشین حساب استفاده کنید.( منظور از این نوع فشار خون فشار خون سیستولیک است. 77

78 فصل : معادالت و نامعادالت درس دوم: سهمی آیا تاکنون به مسیری که یک اسکی باز در یک مسابقه پرش ارتفاع و یا یک گوی آونگ طی می کند دقت کرده اید هیچ کدام از این مسیرها یک خط راست نیستند. مسیر طی شده توسط اسکی باز و یا توپ بسکتبال می تواند توسط معادله y = ax + bx + c بیان شود که در آن b a و c اعداد حقیقی هستند و البته 0 a است. فعالیت معادله -4 y = x را درنظر بگیرید. الف( جدول زیر چند نقطه را که در این معادله صدق می کنند به دست می آورد. این جدول را کامل کنید. x y=x -4 y=)-( -4=4-4=0 y=)0( -4=0-4=-4 )x,y( )-,0( )0,-4( نقاط به دست آمده در جدول باال را در یک دستگاه مختصات مشخص کرده و آنها را به یکدیگر وصل می کنیم )شکل های روبه رو(. ب( پایین ترین نقطه این نمودار چه نقطه ای است آیا می توانید محور تقارن این نمودار را مشخص کنید.... ج( برای رسم این نمودار از چند نقطه استفاده کرده ایم آیا با نقاط کمتر نیز می توانیم این نمودار را رسم کنیم... د( محل برخورد منحنی رسم شده با محور xها در چه نقاطی است... فعالیت 78

79 درس دوم:سهمی نمودار هر معادله به شکل y = ax + bx+ c که در آن a و b و c اعداد حقیقی هستند و 0 a را یک سهمی می گوییم که به یکی از دو صورت مقابل است: a > 0 A a < 0 A نقطه A را در شکل های مقابل رأس سهمی می گوییم. اگر 0> a باشد A پایین ترین نقطه سهمی و اگر 0< a باشد A باالترین نقطه سهمی است. همچنین خط عمودی که از رأس سهمی می گذرد خط تقارن سهمی نامیده می شود. فعالیت معادله یک سهمی بهصورت + 5 4x y = x - است. الف سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید. y = x - 4x + 5 y=)x-( + ب ریشه عبارت داخل پرانتز را بهدست آورده و آن را در ردیف وسط جدول زیر قرار دهید. جاهای خالی را با عبارت های مناسب پر کنید. محور تقارن x-=0 x 0 4 y=x -4x+5 )x,y( ج پنج نقطه حاصل شده در جدول باال را به یکدیگر وصل کنید تا این سهمی رسم شود. د آیا میتوانید پایین ترین نقطه این سهمی را از معادله آن به شکل + y=)x-( بهدست آورید

80 فصل : معادالت و نامعادالت هر سهمی به صورت y = a)x-h( + k که 0 a رأسی به مختصات )k h(, و خط تقارنی با معادله x = h دارد. کار در کالس در هر یک از سهمی های زیر رأس را مشخص کرده و سپس آن را رسم کنید. الف( - )x+( y = ب( + y = - x فعالیت معادله سهمی بهصورت y =ax +bx+c را در نظر بگیرید. الف سمت راست این معادله را به شکل مربع کامل بنویسید و نشان دهید که b 4ac b y = a(x + ) + a 4a x می باشد. b a b a 4ac b 4a ), ( و محور تقارن آن نیز = ب با استفاده از قسمت قبل نشان دهید که رأس این سهمی نقطه مثال سهمی -4x+ y = x- را رسم می کنیم. در این سهمی - = a b 4= و - = c است. مختصات رأس سهمی را به دست می آوریم. b 4 x = = = a 4 اکنون در جدول زیر سه نقطه از آن را پیدا می کنیم. A B x 0 y=-x +4x- -)0( +4)0(-=- -)( +4)(-=- -)( +4)(-=- )x,y( )0,-( ),-( ),-( بنابراین نمودار این سهمی به صورت مقابل خواهد بود. دقت کنید که نقاط A و B از این سهمی که عرض یکسان دارند نسبت به محور تقارن یعنی خط =x قرینه اند. 4ac b 4a عرض رأس سهمی یعنی b را میتوانید از قرار دادن = x در معادله سهمی بهدست آورید. a 80

81 فعالیت درس دوم:سهمی دو سهمی بهصورت + = y و + y =x داده شده است. معادله الف مختصات راس و دو نقطه دیگر از این دو سهمی را در جدول زیر مشخص کرده و سپس نمودار هر دو سهمی را در شکل مقابل رسم کنید و نشان دهید که مختصات رأس هر دو سهمی نقطه )0,(A است. x x y =x + )x,y( x x y = + )x,y( ب معادله سهمی دیگری که نقطه A رأس آن است را بنویسید و آن را در دستگاه باال رسم کنید. ج ضرایب x در معادالت سهمیهایی که رسم شدهاند چه نقشی در نمودار آنها داشته است... تمرین د( نمودار هر یک از سهمیهای زیر را رسم کنید. الف( - -)x+( y = ب( - y =x ج( y = x-x x y= + x 4 اگر ),5-( و )0,5( دو نقطه از یک سهمی باشند محور تقارن این سهمی را بهدست آورید. سهمی y = ax +bx + c محور yها را در نقطه ای به عرض و محور xها را در نقاط - و قطع کرده است. معادله این سهمی را بنویسید و آن را رسم کنید. 8 4 دو پرتابگر وزنه در یک مسابقه ورزشی وزنه های خود را با زاویههای متفاوت α و b که >α b پرتاب کردهاند. پرتابگر A زاویه α را انتخاب میکند و مسیر طی شده از x y= + x+ رابطه به دست می آید. پرتاب گر B نیز زاویه b را انتخاب می کند و

82 فصل : معادالت و نامعادالت مسیر طی شده از رابطه +x+ y = x- به دست می آید که در هر دو معادله y ارتفاع وزنه از سطح زمین و x مسافت افقی طی شده بر حسب متر است. الف( مسیر حرکت هر کدام از وزنه ها را رسم کنید. ب( محل برخورد وزنه ها با زمین یا محور xها درچه نقاطی است کدام یک از وزنه ها مسافت افقی بیشتری طی کرده است ج( کدام یک از وزنه ها ارتفاع بیشتری از سطح زمین پیدا کرده است اندازه آنها را مشخص کنید. 8

83 درس سوم:تعیین عالمت درس سوم: تعیین عالمت در یک شرکت تولیدی سود حاصل از رابطه x P(x) = به دست می آید که در آن x تعداد کاالی تولید شده است. جدول زیر سود این شرکت را به ازای چند مقدار x نشان می دهد. 0 تعداد کاالی تولید شده )x( سود حاصله P(x) = 5x - 00 x همانطور که از این جدول استنباط میشود با تولید ٤٠ کاال این شرکت هیچ سودی نخواهد داشت. همچنین اگر بیشتر از ٤٠ کاال تولید شود شرکت به سوددهی میرسد در حالی که با تولید کمتر از این تعدادکاال این شرکت سود منفی )زیان( خواهد داشت. عالمت P(x) برای xهای مختلف از جدول زیر بهدست میآید. x P(x) x < x > 40 + حل بسیاری از مسائل نیازمند یافتن عالمت یک عبارت خاص است که باید آن را تعیین عالمت کرد. تعیین عالمت چندجمله ای درجه اول فعالیت نمودار خط - 6 x y = در شکل مقابل رسم شده است. با استفاده از آن عالمت y را در جدول زیر بنویسید. x y=x-6 x > x <

84 فصل : معادالت و نامعادالت نمودار خط + 6 x- y = را نیز در شکل مقابل رسم کرده و جدول زیر که عالمت y را برای xهای مختلف تعیین می کند کامل کنید. x y=-x+6 > x < عالمت عددی که ضریب x است چه تفاوتی در جدول تعیین عالمت این خطوط ایجاد کرده است 4 نشان دهید که عالمت عبارت y = ax b+ برای xهای مختلف از جدول زیر تعیین میشود. x b x < b a a b x > a y = ax+b موافق عالمت 0 a مخالف عالمت a مثال عبارت - 5x y = را تعیین عالمت میکنیم. ریشه عبارت 5x- از معادله 0=-5x به دست می آید که برابر = x است. 5 با توجه به این که عالمت ضریب x یعنی = 5 a مثبت است طبق جدول باال جدول تعیین عالمت بهصورت زیر است. x y = 5x - x < x > 5 + مقدار y را برای = x و - = x به دست آورید و صحت عالمت اعداد به دست آمده را با جدول باال بررسی کنید

85 مثال عالمت عبارت (x-)(- A = x) را برای xهای مختلف تعیین می کنیم. جدول تعیین عالمت برای هرکدام از عبارت های - x ٣ و - x به صورت زیراست: درس سوم:تعیین عالمت x - x x > x < x x - x < x > اطالعات این دو جدول را در یک جدول به صورت زیر می نویسیم: x x- -x x < - + < x < x < + - بنابراین در سه ناحیه باال که با رنگ های مختلف نشان داده شده است عالمت هرکدام از این دو عبارت مشخص شده است. مثال برای x < عبارت - x مثبت است ولی - x منفی می باشد پس عالمت عبارت حاصلضرب آنها منفی خواهد بود. با بحث مشابه برای دو ناحیه دیگر جدول تعیین عالمت (x-)(- A = x) به صورت زیر می باشد. x x- -x A دقت کنید که روی ستون ها نیزقاعده ضرب انجام شده است. مقدار A را برای = 4 x و = 0 x به دست آورید و صحت عالمت مقادیر به دست آمده را با جدول باال بررسی کنید. کار در کالس هریک از عبارت های زیر را تعیین عالمت کنید. الف -) )(x A = (x + ب -) (x B = D = 5 x ج x) C = x (7 - د x از نوشتن حدود x در جدول تعیین عالمت صرف نظر می کنیم. 85

86 فصل : معادالت و نامعادالت تعیین عالمت چندجمله ای درجه دوم P(x) برای حل معادله. a اعداد حقیقی هستند و 0 a,,b c یک چندجملهای درجه دوم باشد که در آن Px ( =( ax فرض کنیم + bx + c b, = 0 به شیوه مربع کامل P(x) را به شکل زیر می نویسیم. P(x) = a (x + ) a 4a که در آن = b - 4ac و می دانیم که تعداد ریشه های معادله = 0 P(x) به عالمت بستگی دارد. با انجام فعالیت زیر عالمت P(x) را در حالت های مختلف به دست می آوریم. فعالیت فرض کنید که معادله = 0 P(x) دو ریشه متمایز x و ) x< x( x داشته و به شکل ) P(x) = a(x x )(x x تجزیه شده باشد. با تکمیل جدول زیر عالمت را برای های مختلف تعیین کنید. x-x x x x x-x (x-x )(x-x ) P(x)... مخالف عالمت a... اگر معادله = 0 P(x) ریشه مضاعف برابر با x داشته باشد میتوانیم P(x) را به شکل ( P(x) = a(x x بنویسیم. با تکمیل جدول زیر عالمت را برای xهای مختلف تعیین کنید. x (x-x ) P(x) x اکنون فرض کنید > 0 باشد در این 0 صورت معادله = 0 0P(x) ریشه حقیقی ندارد. با توجه به اینکه عالمت P(x) را در جدول زیر تعیین کنید. برای هر x R b P(x) = a (x + ) a 4a x P(x)... 4 با توجه به قسمت باال مشخص کنید که اگر P(x) برای هر a R مثبت باشد a و چه عالمتی دارند برای وقتی که P(x) منفی است نیز عالمت a و را تعیین کنید تقسیم دو عالمت با ضرب آنها نتیجه یکسانی دارد. همچنین حاصل a که a R است قابل محاسبه نیست و به آن تعریف نشده می گوییم.

87 مثال درس سوم:تعیین عالمت عبارت - x A = x - را تعیین عالمت می کنیم. ابتدا ریشه های معادله = 0 A را در صورت وجود به دست می آوریم. = b - 4ac = (-) - 4()(-) = + 4 = 5 پس معادله = ٠ A دو ریشه متمایز به صورت زیر دارد: b+ + 5 b 5 x = = =, x = = = a 4 a 4 با توجه به اینکه = a بنابراین عالمت P(x) طبق فعالیت باال به صورت زیر مشخص می شود: x - P(x) نمودار سهمی - x- y = x در شکل مقابل رسم شده است. به کمک نمودار نیز به راحتی میتوان عالمت y را برای xهای مختلف تعیین نمود. برای > x و یا - < x نمودار باالی محور xهاست پس y عالمت مثبت دارد و برای < x > نمودار پایین محور xهاست پس عالمت y منفی است. x(x ) P(x) = x + x مثال را تعیین عالمت میکنیم. عبارت هریک از عبارتهای موجود در صورت و مخرج را تعیین عالمت میکنیم و نتایج را در یک جدول مینویسیم. x = 0 (x ) = 0 x = 0 x = x + x = 0 (x + )(x ) = 0 x = x = x x (x-) x +x- P(x) تعریف نشده تعریف نشده 87

88 فصل : معادالت و نامعادالت کار در کالس چندجمله ای + x y = x- + را با محاسبه ریشه ها در یک جدول تعیین عالمت کنید و سپس با رسم آن صحت عالمت های به دست آمده در جدول را با نمودار بررسی کنید. عبارت های زیر را تعیین عالمت کنید. x + 6x 9 B = x + x+ الف( ) - 9)(x A = (x - ب( حل نامعادله سال گذشته با مفهوم نامعادله آشنا شده اید. اگر A و B دو عبارت جبری باشند نامعادالتی که با این دو عبارت ساخته می شوند به صورت زیر هستند: میخوانیم A کوچکتر از B است. A کوچکتر یا مساوی B است. A بزرگتر از B است. A بزرگتر یا مساوی B است. نامعادله A < B A B A > B A B برای حل یک نامعادله می توانیم از خواص زیر استفاده کنیم. ١ خاصیت جمع: برای عبارت های جبری B A و C اگر A< B سپس.A + C < B + C ٢ خاصیت ضرب الف( اگر >0 C و A > B سپس.AC > BC ب( اگر <0 C و A > B سپس.AC < BC 88

89 درس سوم:تعیین عالمت مثال 5x - x - 7 5x - -x x x x - -7 نامعادله 7- x 5x - را حل می کنیم. به دو طرف نا معادله x- را اضافه می کنیم. x -6 دو طرف نامعادله را در ضرب می کنیم. x - بنابراین مجموعه جواب این نامعادله عبارتست از } x R x { که با نماد بازه به شکل ( +, [ نوشته میشود. نمایش هندسی این مجموعه به صورت زیر است. 89 فعالیت فرض کنید x متغیری باشد که همزمان در دو نامعادلهی زیر صدق میکند: - < x -, x - 8 هر کدام از نامعادالت باال را حل کنید و مجموعه جوابهای بهدست آمده را در روی محور مقابل آنها رسم کنید. - < x -... x اکنون بهخاطر وجود»و«بین دو نامعادله اشتراک مجموعه جوابهای بهدست آمده را مشخص کرده و آن را روی محور مقابل رسم کنید. میتوانیم دونامعادله فوق را ترکیب کرده و به شکل یک نامعادلهی دوگانه بهصورت 8 - x < - بنویسیم. از خواص جمع و ضرب نامساویها استفاده کنید و این نامعادله دوگانه را حل کنید: به دو نا معادله + را اضافه می کنیم. 8 - x < - دو نا معادله را در ضرب می کنیم. 9 x < < x... جواب بهدست آمده از این روش را با جوابی که در قسمت باال به آن رسیدهاید مقایسه کنید. نامعادله دوگانه فوق را بهصورت دستگاه نامعادالت زیر نیز نشان میدهیم: x > x 8

90 فصل : معادالت و نامعادالت کار در کالس حداقل و حداکثر دمای یک شهر در یک روز ١٥ و ٢٥ درجه سانتیگراد و رابطهای که درج ه 5 فارنهایت )F( را به سانتیگراد )C( تبدیل میکند بهصورت ( F) C = است. حداقل و 9 حداکثر دمای این شهر را برحسب فارنهایت تعیین کنید. )قرار دهید 5 C ١٥ و سپس از رابطه داده شده C را برحسب F بنویسید و نامعادله دوگانه بهدست آمده را حل کنید.( فعالیت چندجملهای - x y = x - را درنظر بگیرید. نمودار این معادله به عنوان یک سهمی در شکل مقابل رسم شده است. الف به کمک نمودار رسم شده برای چه مقادیری از x نمودار سهمی پایین محور هاست... ب چندجملهای - x y = x - رادر یک جدول تعیین عالمت کنید و مشخص کنید که برای چه مقادیری از x عالمت y منفی میباشد ج نشان دهید که از مجموعه جوابهای بهدست آمده در قسمت الف و ب میتوان برای حل نامعادله < ٠-٣ x x - استفاده کرد.... کار در کالس هریک از نامعادالت زیر را به دو روش هندسی و جدول تعیین عالمت حل کنید. الف 4 x ب 0 - x x - مثال برای چه مقادیری از m عبارت + mx y = x + همواره مثبت است حل: از درس قبل به یاد داریم برای اینکه عبارت درجه دوم y = ax + bx + c همواره داشته باشد باید < 0 و > 0 a باشد. در این عبارت = ١ a و - 4 = m بنابراین < m جدول تعیین عالمت برای - 4 m به صورت زیر است: m m بنابراین برای اینکه < m باشد باید < m <.- 90

91 مثال درس سوم:تعیین عالمت x را حل میکنیم. x + نامعادله برای حل این نامعادله عبارت x را تعیین عالمت میکنیم. برای این کار ریشه های صورت و مخرج این کسر را پیدا می کنیم. ریشه x + های معادله = 0 9- x ± هستند و ریشه معادله 0=+x است. بنابراین جدول تعیین عالمت این کسر به صورت زیر است. x - x -9 x+ x -9 x تعریف نشده بنابراین اگر 9 <. [, ) [, + ) x x عبارت x بزرگتر یا مساوی صفر است پس مجموعه جواب این نامعادله عبارتست از: x و یا + حل نامعادالت قدر مطلقی می دانیم که x همان فاصله x از مبدا روی خط اعداد حقیقی است. مثال = و = - زیرا فاصله هردو عدد ٣ و ٣- از مبدا برابر ٣ است. فعالیت نامعادله x رادرنظر بگیرید. جواب این نامعادله شامل اعداد حقیقی x است که فاصله آنها از مبدأ کوچکتر یا مساوی ٣ باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید. مجموعه مقادیری که در نمودار باال مشخص کردهاید را بهصورت بازه بنویسید.... نامعادله x را درنظر بگیرید. جواب این نامعادله شامل اعداد حقیقی x است که فاصله آنها از مبدأ بزرگتر یا مساوی ٣ باشند این اعداد را روی محور زیر نشان دهید. 9

92 فصل : معادالت و نامعادالت مجموعه این مقادیر که در نمودار باال مشخص کردهاید را بهصورت بازه بنویسید.... با استفاده از مراحل باال جاهای خالی را با عبارتهای مناسب پرکنید. x x... = مجموعه جواب )به شکل بازه( = مجموعه جواب )به شکل بازه( x x... x... فرض کنیم a یک عدد حقیقی مثبت و u یک عبارت جبری باشد در این صورت ١ اگر u a سپس -a u a. اگر u a سپس u a یا. u -a مثال نامعادالت زیر را حل میکنیم. الف x ب > 5 x برای حل نامعادله الف با استفاده از خواص قدر مطلق آنرا به یک نا معادله دوگانه تبدیل می کنیم: - x - اکنون داریم : x x 5. پس مجموعه جواب این نامعادله بازه ],5[ است و نمایش هندسی آن به صورت زیر می باشد. برای حل نامعادله x به روش هندسی باید نقاطی مانند x را روی محور پیدا کنیم که فاصله آنها از نقطه حداکثر دو باشد. بنابراین بازه ],5[ مطابق شکل زیر بهدست میآید. x > 5 x > 6 x > x > 5 x < 5 x< 4 x < - + برای حل نامعادله ب نیز از خواص قدر مطلق استفاده می کنیم و داریم: بنابراین مجموعه جواب این نامعادله عبارتست از: (, ( ( +, ( و نمایش هندسی این جواب نیز به صورت زیر است. در هریک از این نامعادالت اگر عالمت مساوی وجود نداشته باشد هیچ کدام از جواب ها نیز عالمت مساوی ندارند. 9

93 کار در کالس در هریک از نامعادالت زیر مجموعه جواب را به شکل بازه بهدست آورده و سپس آن را روی محور نشان دهید. x + الف( < درس سوم:تعیین عالمت 5 x ب( یک نامعادله ی قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن بازه )٩ ( باشد. یک نامعادله قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن + ) 6 [, ], ( باشد. تمرین ج( د( در هریک از نامعادالت زیر مجموعه جواب را به شکل بازه بنویسید. الف( - x < ه( < 0 4) + x (x x x 0 x x+ ب( x+ x+ 5 x< و( ز( < x 7-5 x x < < 0 ح( x 4 0 x + به ازای چه مقادیری از a عبارت =A x + x + a همواره مثبت است y = mx mx همواره پایین محور xهاست به ازای چه مقادیری ازm سهمی 4 یک جسم از باالی یک ساختمان که ١٣ متر ارتفاع دارد به هوا پرتاب میشود. اگر ارتفاع این جسم از سطح زمین در ثانیه t از رابطه + 8t h = t- + محاسبه شود در چه فاصله زمانی ارتفاع توپ از سطح زمین بیشتر از ١٣ متر خواهد بود 5 تعداد ضربان قلب پس از x دقیقه از یک کار سنگین بدنی طبق رابط ه 5 +0x =y x بهدست میآید. در چهزمانهایی پس از یک کار سنگین بدنی 00 8 تعداد ضربان قلب از ١١٠ بیشتر است آیا تمام جوابهای بهدست آمده قابل قبول هستند 9

94 فصل تابع 5 درس اول مفهوم تابع و بازنمایی های آن درس دوم دامنه و برد توابع درس سوم انواع توابع

95 درس اول:مفهوم تابع و بازنمایی های آن درس اول: مفهوم تابع و بازنمایی های آن بسیاری از پدیده های پیرامون ما به نوعی با هم ارتباط دارند. یک نوع خاص از این ارتباط در موارد زیادی مشاهده می شود. به مثال های زیر توجه کنید. دمایی که به ساعت معینی در یک مکان نسبت داده می شود. قیمتی که به اجناس یک فروشگاه نسبت داده می شود. نمره هایی که به یک دانش آموز در دروس مختلف تعلق می گیرد. عددی که به جمعیت شهرها نسبت داده می شود. همدان گنج نامه فعالیت در جدول های زیر مثال های باال و مواردی دیگر به کمک جدول ارائه شده اند. جاهای خالی را پر کنید. جدول آخر را به سلیقه خودتان تکمیل نمایید. با توجه به جدول مشخص است که در یک زمان معین فقط یک دما را می توان به آن نسبت داد. در مورد بقیه جدول ها مشابه این عبارت را بنویسید. میبد استان یزد ناربن قلعه به یک ساعت معین فقط یک دما را می توان نسبت داد یعنی یک ساعت مشخص دو دمای متفاوت ندارد. ساعت دما خط کش مداد دفتر خودکار کاال 500 قیمت )تومان( ادبیات شیمی فیزیک ریاضی درس 8 نمره یک شخص معین دو روز تولد متفاوت ندارد. رستگار پنج شنبه کشاورز شنبه احسانی دوشنبه امیدی شنبه فرد روز تولد... 95

96 فصل 5 :تابع فعالیت جدول های فعالیت را می توان به کمک مجموعه ها و پیکان هایی که اعضای آنها را به هم مربوط می کنند مشخص کرد. به این شیوه نمایش نمودارهای پیکانی می گوییم. یک نمونه کامل شده است. بقیه را شما کامل کنید. A B A خودکار دفتر مداد خطکش B A B A B A B A B شنبه دوشنبه پنجشنبه ریاضی فیزیک شیمی ادبیات برای تکمیل این مورد از مثال های مطرح شده در کالس کمک بگیرید. توجه دارید که در رابطه های باال از هر عضو مجموعه A دقیقا یک پیکان خارج شده است. در ریاضی اینگونه رابطه بین دو مجموعه را یک»تابع«می نامند. یک تابع از مجموعه A به مجموعه B رابطه ای بین این دو مجموعه است که در آن به هر عضو از A دقیقا یک عضو از B نسبت داده می شود. در فعالیت همه مثال های ارائه شده تابع هایی هستند که به صورت جدول نمایش داده شده اند. کار در کالس مجموعه A شامل سه دانش آموز به نام های محمد حسین و امید و مجموعه B شامل دو رشته ورزش است که می توانند انتخاب کنند. کدام یک از نمودارهای پیکانی داده شده تابع است و کدام یک تابع نیست A B A B A B والیبال محمد والیبال محمد والیبال محمد فوتبال حسین امید فوتبال حسین امید فوتبال حسین امید 96

97 درس اول:مفهوم تابع و بازنمایی های آن از مجموعه A به مجموعه B نمودار پیکانی را طوری رسم کنید که یک تابع را نمایش دهد. از مجموعه X به مجموعه Y این کار را به گونه ای انجام دهید که حاصل یک تابع نباشد. A B X Y a b d e 5 c f 7 پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید. الف( آیا رابطه ای که به افراد سن آنها را نسبت می دهد یک تابع است رابطه ای که به افراد وزن آنها را نسبت می دهد چطور ب( آیا رابطه ای که به افراد غذای مورد عالقه آنها را نسبت می دهد یک تابع است توضیح دهید. ج( کدامیک از نمودارهای پیکانی زیر یک تابع است A B C D E F X Y a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e فعالیت نمایش تابع به صورت زوج های مرتب و نمودار مختصاتی در نمودار زیر دمای هوا در چهار ساعت متفاوت در اردبیل نشان داده شده است. رابطه بین زمان و دما را به صورت نمودار پیکانی نمایش دهید و معلوم کنید که آیا این رابطه یک تابع است جدول را هم کامل کنید. ساعت دما )سانتی گراد( دما 4 زمان دما زمان گردنه حیران اردبیل اگر در نمودار باال محور افقی را محور طول و محور عمودی را محور عرض درنظر بگیریم مختصات هر یک از نقاط داده شده را می توان با یک»زوج«از اعداد به صورت زیر نمایش داد: )4, 5(, )5, 4(, )6, (, )7, ( 97

98 فصل 5 :تابع ترتیب نوشتن اعداد در هر زوج مهم است. مثال زوج های )5 4(, و )4 5(, برابر نیستند و دو نقطه متفاوت در نمودار را نشان می دهند. به همین دلیل به هر یک از زوج های باال یک»زوج مرتب«می گوییم. اگر همه زوج های مرتب باال را در مجموعه ای قرار دهیم یک نمایش دیگر برای رابطه ارائه شده بین زمان و دما به دست می آید که به آن نمایش زوج مرتبی رابطه داده شده می گویند. برای نام گذاری این مجموعه جدید از حروفی مانند f و g استفاده می کنیم. f =})4,5(, )5,4(, )6,(, )7,({ در هر زوج مرتب عضو اول را»مؤلفه اول«و عضو دوم را»مؤلفه دوم«می نامیم. به طور مثال در زوج مرتب ) و 6( مؤلفه اول ٦ و مؤلفه دوم ٣ است. مجموعه f یک تابع است. برای ساعت های دیگر موجود در نمودار دمایی را به زمان نسبت دهید و نمودار را به صورت زوج مرتب نمایش دهید. کار در کالس نام شهرهای تهران مشهد اصفهان شیراز تبریز و اهواز در یک سطر جدول زیر نوشته شده اند. در سطر دیگر جمعیت آن شهرها را به طور تقریبی بنویسید. )جمعیت دقیق الزم نیست.( کرمان اهواز تبریز شیراز اصفهان مشهد تهران شهر جمعیت )میلیون نفر( رابطه باال را به صورت پیکانی و زوج مرتب هم نمایش دهید. آیا این رابطه یک تابع است شیراز باغ جهان نما 98 کرمان باغ شازده

99 درس اول:مفهوم تابع و بازنمایی های آن در هر سطر جدول زیر نمایش های مختلف یک رابطه داده شده است. جاهای خالی جدول را کامل کنید و معلوم کنید که آیا رابطه داده شده یک تابع است ردیف آخر را به دلخواه خودتان کامل کنید. جدول یا نمودار نمودار پیکانی مجموعه زوج های مرتب توصیف رابطه به هر عدد طبیعی کمتر از 4 مقسومعلیههای آن را نسبت میدهد. }),(, ),(, ),(,),(, ),({ }),4(, ),9(, )4,6({ به اعداد 4 و 7 ریشههای دوم آنها را نسبت میدهد الف( کدامیک از دو رابطه زیر یک تابع است چرا g=}),5(, ),9(, ),5(, ),0({ f=}),5(, ),9(, ),0({ ب( با تکمیل جمله زیر برای تشخیص تابع بودن یک رابطه هنگامی که رابطه بهصورت زوج مرتبی ارائه میشود معیاری بهدست آورید: اگر یک رابطه به صورت مجموعه زوج های مرتب داده شده باشد هنگامی این رابطه یک تابع است که هیچ دو زوج مرتب متمایزی در آن. 99

100 فصل 5 :تابع تمرین کدامیک از روابط زیر یک تابع را معلوم می کند توضیح دهید. الف( رابطه ای که به ضلع یک مربع محیط مربع را نسبت می دهد. ب( رابطه ای که به هر فرد دمای بدن او را در یک زمان معین نسبت می دهد. ج( رابطه ای که به هر فرد گروه خونی او را نسبت می دهد. د( رابطه ای که به هر دانش آموز دوستان او را نسبت می دهد. ه( رابطه ای که به هر عدد ریشه های دوم آن عدد را نسبت می دهد. و( رابطه ای که به هر عدد ریشه سوم آن را نسبت می دهد. مجموعه های c{ A=}a, b, و { B=}, داده شده اند. الف( دو به کمک نمودار پیکانی دو رابطه از A به B ارائه کنید که تابع باشند. ب( دو رابطه ارائه کنید که تابع نباشند. ج( چهار رابطه به دست آمده را به کمک زوج های مرتب و نیز نمودار نمایش دهید. کدامیک از مجموعههای زیر یک تابع است: f=}),(, ),-5(, ),7({ g= })0,(, ),(, )-5,(, )8,({ 5 h=}),(, ),(, ),({ k= }),5({ r =}),0(, )-7,0({ A 4 و B مجموعههایی غیرعددی هستند در شکل زیر در A و B اعضایی دلخواه بگذارید و یک تابع از A به B به کمک نمودار پیکانی ارائه کنید. سعی کنید الاقل سه تابع مختلف بنویسید. پاسخ خود را با پاسخ دوستانتان مقایسه کنید. A B 00

101 درس دوم:دامنه و برد توابع درس دوم: دامنه وبرد توابع فعالیت در جدول زیر رابطه بین تعدادی چند ضلعی و مجموع زوایای داخلی آنها داده شده است. جدول را کامل کنید. پنج ضلعی لوزی مربع مثلث چندضلعی 80 مجموع زوایای داخلی )درجه( این رابطه را بهصورت زوج مرتبی نمایش دهید., مربع(, 80(, مثلث({= f, لوزی(, (, پنج ضلعی(, ( ({ چرا f یک تابع است مجموعه همه مؤلفه های اول زوج های مرتب تشکیل دهنده هر تابع را»دامنه«و مجموعه همه مؤلفه های دوم را»برد«آن تابع می نامند. در فعالیت باال: }پنج ضلعی, لوزی, مربع, مثلث{ = دامنه f 540{ }80, 60, = برد f کاردر کالس در جدول رابطه بین ضلع یک مربع و محیط آن داده شده است. جدول را کامل کنید. طول ضلع محیط 4 0 نمایش رابطه داده شده را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسید. چرا این رابطه تابع است دامنه و برد این تابع را بنویسید. الف( تابعی مثال بزنید که دامنه آن سه عضو و برد آن دو عضو داشته باشد. ب( آیا تابعی وجود دارد که دامنه آن دوعضو و برد آن سه عضو داشته باشد. اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد میدانیم که دامنه f همان مجموعه A است. آیا همیشه برد تابع f با مجموعه B برابر است مثال بزنید. 0

102 فصل 5 :تابع فعالیت دنباله شکل های زیر را درنظر بگیرید: شکل چهارم شکل سوم شکل دوم شکل اول جدول را کامل کنید n شماره شکل تعداد دایره ها چرا این جدول یک تابع را نشان می دهد نمایش زوج مرتبی این تابع { و ( و f = }),(, ),(, ),5(,, )00, (,, )n نمودار پیکانی و نمودار مختصاتی این تابع را رسم کنید. دامنه و برد این تابع را بنویسید. دامنه و برد چه مجموعه هایی هستند نام ببرید ṇ ?.. همان گونه که از نمایش های مختلف تابع دیده می شود عضو از دامنه به از برد و عضو از دامنه به از برد نظیر می شود. به جای این می توان با یک قرارداد کار را ساده تر کرد. معموال می نویسند =)(f =)(f, و گفته می شود که مقدار تابع f در نقطه برابر است و یا مقدار تابع f در نقطه برابر است. به همین ترتیب می توان نوشت: f)(=5, f)4(=7,, f)n( =n-, رابطه بین دامنه و برد تابع f را می توان به صورت یک عبارت ریاضی به شکل -n= f)n( نوشت که در آن n یک عدد طبیعی است. این گونه نمایش تابع را نمایش جبری می نامند. برای مشخص کردن تابع f به صورت جبری باید به دامنه و برد آن هم توجه کنیم. در بسیاری از موقعیت ها کار با نمایش جبری یک تابع ساده تر و مناسب تر از کار با دیگر نمایش های تابع است. کاردر کالس اگر تابعی با نمایش جبری + f (n) = n داده شده باشد و دامنه آن {,,,4} = A باشد برد تابع f را به دست آورید. 0

103 درس دوم:دامنه و برد توابع کاردر کالس جدول را کامل کنید. از آن برای رسم نمودار خط - x y = استفاده کنید. x - 0 y 5 - آیا میتوانید شباهت این جدول و تفاوت آن را با جدول فعالیت قبل معلوم کنید چرا این جدول هم یک تابع را معلوم میکند این تابع را g بنامید. نمودار این تابع و تابع داده شده در فعالیت قبل چه تفاوتی با هم دارند دامنه و برد این تابع را بهدست آورید و با دامنه و برد تابع -n= f)n( که در آن n N مقایسه کنید. جاهای خالی را کامل کنید. g( ) = 5 g( 0 ) = g( ) g( 5 ) = g( 0 ) = نمایش جبری تابع داده شده در این کار در کالس را بنویسید. =)x) g که در آن x یک عدد است. هر تابع که بتوان آن را به شکل y = ax + b نمایش داد یک تابع خطی نامیده می شود. هنگامی که پزشکان می خواهند در مورد رشد یک کودک اظهارنظر کنند نمودار وزن او را با نمودار شکل )( مقایسه می کنند. در مقایسه نمودار وزن هر کودک با نمودار شکل )( چهار وضعیت متفاوت ممکن است رخ دهد که در شکل )( نشان داده شده اند. شاید بیشتر شما نمودارهای وزن و یا قد یک کودک از بدو تولد تا هنگام ورود به مدرسه را دیده باشید. شکل زیر نمودار تغییرات وزن یک کودک طبیعی را از هنگام تولد تا یک سالگی نشان میدهد. وزن یک کودک تابعی از زمان است. ج( توقف رشد ب( کندی رشد الف( رشد مطلوب د( ا فت رشد شکل فعالیت جدول زیر نشان دهنده وزن یک کودک است که در پایان هر ماه طی یک سال توسط پزشک )یا یک مرکز بهداشتی( ثبت شده است. این جدول یک تابع را نشان می دهد. زمان )ماه( شکل نمودار تغییرات در وزن یک کودک طبیعی بر ای سادگی یک نمونه از نمودارهای واقعی ارائه شده است. وزن )کیلوگرم( 0 /8 / 4/ /8 7 4/5 8 5/5 9 6/5 0 7/ 8 8/5 زمان )ماه( وزن )کیلوگرم( 0

104 فصل 5 :تابع الف به نظر شما در فاصله زمانی تولد تا سه ماهگی رشد کودک با کدام یک از چهار وضعیت نشان داده شده در شکل )( مطابقت دارد ب در چه فاصله زمانی وزن او ثابت مانده است ج اعداد داده شده در جدول را روی شکل )( مشخص کنید. نقاط به دست آمده را به یکدیگر وصل کنید تا نمودار جدیدی به دست آید. با مقایسه این نمودار با نمودار اصلی رشد کودک از نظر وزن را در طی یک سال بررسی کنید. اگر چه وزن کودک در فاصله بین ماه ها اندازه گیری نشده بود ولی به کمک نموداری که رسم کرده اید می توانید وزن او را در فاصله بین ماه ها نیز به صورت تقریبی تعیین کنید. د دامنه و برد این تابع را به دست آورید و نمودار پیکانی آن را نیز رسم کنید. کار در کالس کدامیک از نمودارهای زیر یک تابع را نمایش می دهند توضیح دهید. می توانید نمایش زوج مرتبی نمودارهای باال را بنویسید و به کمک آن تابع بودن یا تابع نبودن را معلوم کنید. دامنه و برد هر کدام که تابع است را معلوم کنید. با تکمیل جمله زیر معیاری برای تشخیص تابع بودن یک رابطه که به صورت نمودار ارائه می شود به دست آورید. اگر نمودار یک رابطه داده شده باشد هنگامی این نمودار تابع است که هر خط موازی محور عرض ها نمودار را حداکثر در... قطع کند. 04

105 درس دوم:دامنه و برد توابع کار در کالس کدامیک از نمودارهای زیر یک تابع را نمایش می دهند تمرین کدامیک تابع است دامنه و برد هر تابع را معلوم کنید

106 فصل 5 :تابع تابعی مثال بزنید که: الف( دامنه آن تنها شامل دو عضو باشد. ب( برد آن تنها از یک عضو تشکیل شده باشد. ج( دامنه آن تنها یک عضو داشته باشد. د( دامنه آن نامتناهی باشد ولی برد آن تنها یک عضو داشته باشد. ه( دامنه و برد آن نامتناهی باشند. جاهای خالی در جدول را کامل کنید و نمودار توابعی که در جدول توصیف شدهاند را رسم کنید. (الف) (ب) (ج) (د) تابع f(x) = x g(x) = x h(x)= x y = x مجموعه اعداد حقیقی نامنفی ] [, مجموعه اعداد حقیقی 4} {,,, دامنه مجموعه اعداد حقیقی برد (ب) (الف) (د) (ج) 06

107 درس دوم:دامنه و برد توابع 4 یک شمع 0 سانتی متر ارتفاع دارد و در هر ساعت 4 سانتی متر می سوزد. پس از چند ساعت شمع خاموش خواهد شد جدولی تنظیم کنید و در طی ساعات مختلف ارتفاع شمع را محاسبه کنید. x )زمان( y )ارتفاع شمع( نمودار این تابع را رسم کنید. چرا این تابع یک تابع خطی است 5 آیا خط = x را می توان به عنوان یک تابع در نظر گرفت چرا در مورد خط = 5 y چه طور در حالت کلی چه موقع یک خط را می توان یک تابع نیز در نظر گرفت 6 نمایش جبری سه تابع خطی را بنویسید که دامنه آن بازه ]٥,-[ باشد. چه تعداد از این گونه توابع وجود دارند 7 نمایش جبری تابع زیر را که نمودار آن ارائه شده است به دست آورید. از بین نمایش های مختلفی که برای این تابع می دانید کدامیک مناسب تر است 8 جدول زیر دمای سنگ ها در عمق های متفاوت زیر سطح زمین را نشان می دهد: عمق )کیلومتر( دما )سانتی گراد( الف( توضیح دهید که چرا این جدول یک تابع را به دست می دهد و نمودار آن را رسم کنید. ب( معادله ای برای این تابع به دست آورید. ج( دمای یک سنگ که در عمق 0 کیلومتری زیرزمین است را بیابید. ) f( را بهدست آورید. 4 9 تابع - = (x) f را رسم کنید و مقادیر )( f و )00( f و )-5( f و ) 5 f( و الف( اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار تابع را رسم کنید. ب( نمودار این تابع را وقتی که دامنه تابع بازه ]٥, -[ باشد نیز رسم کنید. 07

108 فصل 5 :تابع 0 برای یک تابع خطی می دانیم که: = )( f و = 7 )0( f نمودار این تابع را رسم کنید و نمایش جبری تابع را بنویسید. آیا جدول زیر یک تابع را نشان می دهد چرا x y علی در هر دقیقه پیاده روی مسافت 0/ کیلومتر را طی می کند. اگر مسافتی که علی در t دقیقه طی می کند را با )t( f نمایش دهیم کدام عبارت نمایش جبری این تابع را به دست می دهد f )t( = 0/ t )ب -0/ t f )t( = )الف f )t( = 0/ -t )د +0/ t f )t( = )ج اگر در مورد تابع g داشته باشیم: بنویسید و نمودار آن را رسم کنید. 0 = = 5 = 4 = ),g( g g( ),g( ),g( ) را به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب 9 = C+ 5 4 برای اندازه گیری دما از واحدهای»سانتی گراد C«و»فارنهایتF «استفاده می شود که با رابطه هستند. الف( 0- درجه سانتی گراد چند درجه فارنهایت است ب( 04 درجه فارنهایت چند سانتی گراد است ج( معادله ای بنویسید که سانتی گراد را برحسب فارنهایت به دست دهد. د( آیا رابطه بین این دو واحد یک تابع خطی را معلوم می کند F به یکدیگر وابسته 5 طول یک مستطیل واحد بیشتر از عرض آن است. رابطه ای ریاضی بنویسید که محیط این مستطیل را برحسب تابعی از عرض آن بیان کند. 6 دو تابع مثال بزنید که دامنه و برد آنها یکی باشد ولی هیچ دو زوج مرتب مشترکی نداشته باشند. 7 نمودار تابعی را رسم کنید که دامنه آن ] 0[, و برد آن ] -[, باشد. چه تعداد از این گونه توابع می توان رسم کرد. 08

109 درس سوم:انواع توابع درس سوم: انواع توابع فعالیت جدول های زیر را کامل کنید. 0/ طول ضلع مربع /5 x 0/0 مساحت آن 6 44 شعاع دایره 5 r مساحت آن π 4 4π اگر x طول ضلع یک مربع باشد مساحت آن تابعی از است و به صورت = f)x( قابل نمایش است. اگر r شعاع یک دایره باشد مساحت دایره تابعی از است و به صورت = g)r( قابل نمایش است. چون f و g به صورت یک چند جمله ای درجه دوم به ترتیب از x و r بیان شده اند آنها را توابع درجه دوم می نامیم. حجم یک کره را برحسب یک تابع درجه سوم از r )شعاع کره( بنویسید: V)r( = توابعی که ضابطه های آنها چند جمله ای های جبری از یک متغیر هستند را توابع چند جمله ای می نامیم. f)x( =x +5x+ g)x( =4x - توابع زیر همگی توابع چند جمله ای هستند: h)a( =a +a 4-4a-9 r(t) = t + t + 5 تابع f را بهصورت + 5x y = x + نیز نمایش میدهند. بقیه توابع رانیز به اینصورت نمایش دهید. 09

110 فصل 5 :تابع دامنه و برد توابع زیر را به دست آورید. این سه تابع چه شباهت و چه تفاوتی دارند f =})a,a(, )b,b(,)c,c({ اگر هر عضو از دامنه یک تابع دقیقا به همان عضو در برد نظیر شود تابع را همانی می نامند. اگر دامنه تابع همانی را R درنظر بگیریم نمودار آن همان خط y = x است که با معادله f)x( = x هم نمایش داده می شود. سه تابع زیر را با هم مقایسه کنید و دامنه و برد آنها را بنویسید. این سه تابع در چه ویژگی مشترک هستند y = 8 ساعت دمای هوا 9 9 تابعی که برد آن تنها شامل یک عضو است را تابع ثابت می نامیم. تابع ثابت را معموال با معادله f)x( = k نمایش می دهیم. کار در کالس برای هر مورد مثالی به دلخواه ارائه کنید. مثالی از یک تابع چند جمله ای ارائه کنید. یک تابع همانی مثال بزنید که دامنه آن }5,β,,α{ باشد. یک تابع مثال بزنید که دامنه و برد آن برابر باشند ولی تابع همانی نباشد. مثالی از دنیای واقعی از تابع ثابت ارائه کنید. مثالی از یک تابع ثابت ارائه کنید که دامنه آن 5 عضوی باشد. 0

111 نمودارهای توابع داده شده را رسم و با یکدیگر مقایسه کنید. نمودار تابع h رسم شده است. جدول را کامل کنید. درس سوم:انواع توابع f)x( =x تابع g)x( =x h)x( =x t)x( =x مجموعه اعداد حقیقی مجموعه اعداد حقیقی منفی,{ }-, 0, دامنه ]-,[ برد دامنه و برد را روی شکل نیز معلوم کنید. تذکر: اگر نمایش جبری تابعی داده شده باشد ولی دامنه آن مشخص نشده باشد معموال بزرگترین مجموعه ممکن را دامنه درنظر می گیریم. مثال دامنه تابع f (x) = x را مجموعه اعداد حقیقی درنظر می گیریم. در غیراین صورت باید دامنه را دقیق مشخص کنیم. فعالیت جدول زیر تابعی را نشان می دهد که اعداد داده شده را به قدرمطلق آن را نظیر می کند. جاهای خالی را پر کنید و نمودار تابع را رسم کنید. دامنه و برد این تابع را معلوم کنید. x f)x( تابعی که هر مقدار در دامنه را به قدرمطلق آن در برد نظیر می کند تابع قدرمطلق نامیده می شود. تابع قدرمطلق رابا x = f )x( یا x y = نمایش می دهند.

112 فصل 5 :تابع اگر دامنه تابع قدرمطلق مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار آن را رسم کنید. تابع قدرمطلق را به صورت x x 0 f(x) = x x < 0 نیز نمایش می دهند. با توجه به اینکه برای 0 x و 0<x تابع دارای معادله های مختلفی هست این تابع یک تابع چند ضابطه ای )قطعه ای( نامیده می شود. مثال تابع مقابل نیز یک تابع قطعه ای است. x x 0 f(x) = x x < 0 نمودار این تابع برای اعداد مثبت همان نمودار سهمی y = x است و برای اعداد منفی نمودار تابع با نمودار خط - x- y = برابر است. نمودار )x( f در شکل مقابل رسم شده است. فعالیت فعالیت توابع f و g و h و قسمتی از نمودارهای آنها داده شده اند. نمودار را کامل و مشخص کنید. هر نمودار به کدام تابع تعلق دارد دامنه و برد هر تابع را نیز معلوم کنید. x > 0 f(x) = x < 0 x 4 x> 5 g(x) = x = x 4 x < x x h(x) = 5 x < مقادیر f)( h( ) f( ) g)-( و g)0( را بیابید. 5

113 درس سوم:انواع توابع کار در کالس نمودار تابع های زیر را رسم کنید و دامنه و برد هر تابع را معلوم کنید. x x > 0 f(x) = x+ x 0 5 ) g( را به دست آورید. x 5 x > g(x) = < x x x مقادیر )0( f و g)0( و )5( f و )( g و )-( f و نمودار تابع قطعه ای f داده شده است. ضابطه این تابع را به دست آورید. دامنه و برد این تابع را به دست آورید. رسم برخی توابع به کمک انتقال فعالیت نمودارهای توابع f)x( =x و = x g)x( و h)x( =x و توابع =x+ f )x( و = x + g)x( و + h)x( =x داده شده اند. توضیح دهید h(x) را به = x و 4 g(x) = x و 4 f(x) = x 4 که سه تابع آخر چگونه به کمک سه تابع اول رسم شده اند. سپس توابع همین روش رسم کنید.

114 فصل 5 :تابع با داشتن نمودار تابعی مانند f)x( می توان نمودار تابع f)x( k+ را با انتقال نمودار f)x( به اندازه k واحد در امتداد محور y ها به دست آورد. اگر 0>k انتقال در جهت مثبت و اگر 0<k انتقال در جهت منفی خواهد بود. کار در کالس در شکل زیر دامنه و برد توابعی که به کمک تابع x = f)x( رسم شده اند را بیابید. آیا می توانید توضیح دهید نمودار این توابع چگونه رسم شده اند y = x + y = x y = x برای رسم نمودار تابع )x+k( f کافی است نمودار تابع f)x( را k واحد در امتداد محور xها انتقال دهیم. اگر 0>k انتقال درجهت منفی و اگر 0<k انتقال در جهت مثبت خواهد بود. در شکل های زیر به کمک نمودار تابع f)x( x= و f)x( x-= نمودار توابع دیگری رسم شده اند. دامنه و برد آنها را بیابید. نمودار )+x(= f)x( را نیز رسم کنید. y = x y = (x ) y = (x + ) y = x 4

115 کار در کالس درس سوم:انواع توابع در شکلهای زیر نمودار چند تابع درجه دوم رسم شدهاند. f )x( = )x-5( - g )x( =)x+( - h)x( = )x-( + t )x( = -)x+( + الف( تعیین کنید که هر یک از نمودارها چه تابعی را نشان میدهند. ب( دامنه و برد هر یک از این توابع را بهدست آورید: تمرین تابع -x= f)x( که دامنه آن مجموعه }5 },,0 است را رسم کنید. برد این تابع را بهدست آورید و نمایش زوج مرتبی و نمودار پیکانی این تابع را ارائه دهید. اگر دامنه این تابع R باشد پاسخها چگونه خواهد بود در شکلهای زیر نمودار تعدادی از توابع رسم شدهاند. دامنه و برد هر یک از این توابع را به کمک نمودار آنها معلوم کنید. در هر مورد که امکان دارد دامنه و برد را بهصورت یک بازه نمایش دهید. نمایش جبری توابع )الف( و )و( را بنویسید. Y Y Y )5 6( (0 4) )0 ( X (-4 0) (4 0) - X - (ج) (ب) (الف) X Y ( 4) Y Y (0 ) (8 7) (4 0) X X (- ) (- -5) (0 -) (و) (ه) (د) X 5

116 فصل 5 :تابع درستی یا نادرستی گزارههای زیر را بررسی کنید. الف( دامنه تابع - f)x( x= برابر ) +,0( و ب رد آن نیز ) +,0( است. تابع x f(x) = همه اعداد حقیقی و ب رد آن + ( ), است. ب( دامنه ج( دامنه تابع ثابت = f)x( برابر ) +, -( است. f( ) f( )= د( اگر =x+ f)x( آنگاه. 4 یک تانکر گاز از یک استوانه و دو نیمکره به شعاع r در دو انتهای استوانه تشکیل شده است اگر ارتفاع استوانه 0 متر باشد حجم تانکر را بر حسب تابعی از r بنویسید. 5 هریک از نمودارهای زیر کدام یک از تابعهای )الف( تا )ل( را نمایش میدهد دامنه و برد این توابع چیست - x y = )د x y = )ج + y= -x )ب - y = x )الف -(x+) y = )ح x- y = )ز x y = )و ) + (x y = )ه (x-) y = )ی - x - y = )ط ) (x y )ل x - y = )ک + = + 6

117 درس سوم:انواع توابع 6 فرض کنیم دامنه هریک از توابع تمرین ٥ به بازه ] -[, محدود شده باشد. در این صورت برد هر تابع را پیدا کنید. از نمودارها کمک بگیرید. 7 نمودار تابع f داده شده است. ضابطه این تابع را بنویسید و مقادیر خواسته شده را f( ) 5 f (6) f )( f( ) محاسبه کنید. f )0( f( ) 5 8 نمودار یک تابع خطی از نقاط )4,( و )0,( می گذرد. مطلوبست )4-( f و )-( f 9 هزینه مکالمه تلفنی با کشوری از زمان برقراری تماس برای دقیقه یا کمتر هزار تومان است و پس از آن برای هر دقیقه یک هزارتومان به هزینه اضافه می شود. مثال برای زمان بیشتر از دقیقه تا دقیقا 4 دقیقه هزار تومان دریافت می شود. نمودار هزینه را برحسب زمان تا پایان زمان 6 دقیقه رسم کنید. 0 کدام یک از معادله های زیر یک تابع را نمایش می دهد چرا نمودار هر کدام که تابع است را رسم کنید. x x > 0 f(x) = x + x x x< 0 g(x) = x + x 0 الگوی زیر از تعدادی ذوزنقه تشکیل شده است. الف( جدول زیر را کامل کنید. تعداد ذوزنقه ها 4 5 n محیط شکل ب( چرا رابطه بین تعداد ذوزنقه ها و محیط شکل یک تابع را معلوم می کند دامنه و برد این تابع چیست نمودار این تابع را رسم کنید. ١٢ نمودار تابعی یک سهمی است که از نقاط )٢-, ( و )٣-, ( می گذرد و محور yها را درنقطه ای به عرض ١ قطع می کند. نمایش جدی این تابع را بیابید و نمودار آن را رسم کنید و دامنه و برد تابع را مشخص کنید. 7

118 ترکیبیات 6 فصل و إ ن ت ع د وا ن ع م ة الل ه ل ت ح صو ه ا و اگر بخواهید نمی توانید نعمت های خدا را بشمارید. «سورۀ ابراهیم» درس اول شمارش درس دوم جایگشت درس سوم ترکیب داشتن حداقل چند رنگ کافی است تا هر نقشه ای را بتوان به گونه ای رنگ کرد که هیچ دو ناحیه هم مرزی هم رنگ نباشند

119 درس اول: شمارش درس اول: شمارش شاید شمارش درنظر برخی افراد یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و یک عمل ساده درنظر گرفته شود. ام ا آیا واقعا شمردن همیشه آسان است می دانید که دو اتومبیل نباید پالک یکسان داشته باشند. با پالک هایی به صورت مقابل با استفاده از حروف و اعداد چند اتومبیل را می توان شماره گذاری کرد اصل جمع و اصل ضرب قورمه فعالیت امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون به دوستش پوریا شیرینی بدهد. او با خود فکر می کند که پوریا را به یکی از دو مکان رستوران»یا«آبمیوه فروشی دعوت کند. اگر به رستوران برود تنها یکی از نوع غذای چلوخورشت قورمه سبزی و قیمه را می تواند انتخاب کند و اگر به آبمیوه فروشی برود تنها یکی از سه نوع آبمیوه هویج سیب و پرتقال را می تواند انتخاب کند. چند انتخاب برای پوریا وجود دارد هفته بعد پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند. اما او می خواهد امین را هم به آن رستوران»و«هم به آن آبمیوه فروشی ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آبمیوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد. امین چند نوع انتخاب خواهد داشت چه تفاوتی در دو سؤال بال وجود داشت که باعث شد تعداد حالتهای موجود در دو مثال متفاوت باشد قیمه هویج سیب پرتقال هویج سیب پرتقال هویج سیب پرتقال قورمه قیمه 9

120 در هر یک از دو سؤال بال چه رابطهای بین تعداد گزینههای لیستهای انتخابی رستوران و آبمیوهفروشی و تعداد حالت جواب وجود دارد چرا اصل جمع: اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد بطوریکه در روش اول m انتخاب و در روش دوم n انتخاب وجود داشته باشد برای انجام کار موردنظر m+n روش وجود دارد. فصل : 6 ترکیبیات m انتخاب n انتخاب»توجه کنید که نهایتا قرار است کار موردنظر فقط با یکی از شیوه ها انجام شود. مثال در قسمت اول فعالیت قبل امین فقط یکی از کارهای رستوران بردن و یا آبمیوه فروشی بردن را انجام می دهد.«تعمیم اصل جمع: اگر کاری را بتوان به k روش انجام داد بطوریکه در روش اول m انتخاب در روش دوم m انتخاب و در روش kام m k انتخاب وجود داشته باشد برای انجام کار موردنظر m + m + + m k روش وجود دارد. اصل ضرب: اگر انجام کاری شامل دو مرحله باشد به طوری که برای انجام مرحله اول m انتخاب و برای هر کدام از این m روش مرحله دوم را بتوان به n روش انجام داد در کل کار موردنظر با m * n روش قابل انجام است. مازندران تهران قزوین»توجه کنید که هر دو مرحله باید انجام پذیرد. مثال در مثال هم رستوران رفتن که مرحله اول است انجام می گیرد و هم آبمیوه فروشی رفتن که مرحله دوم است صورت می پذیرد.«اصفهان قم چهارمحال و بختیاری مرکزی مثال فردی قصد دارد با اتومبیل خود از تهران به اصفهان برود و برای اینکار قصد دارد از قم عبور کند. اگر از تهران به قم دو مسیر a و b و از قم به اصفهان سه مسیر و و وجود داشته باشند این فرد به چند طریق میتواند از تهران به اصفهان سفر کند حل: طبق اصل ضرب تعداد حالتها 6=* میباشد که عبارتند از a, a, a, b, b, b, a اصفهان قم تهران b 0

121 تعمیم اصل ضرب: اگر انجام کاری شامل k مرحله باشد بطوریکه برای انجام مرحله اول m روش برای انجام مرحله دوم m روش و برای انجام مرحله k ام m k روش وجودداشته باشد )با فرض اینکه در هر مرحله انتخاب تمام روش های آن مرحله ممکن باشد( کار موردنظر با m * m * * m k روش قابل انجام است. درس اول: شمارش کار در کالس پژمان قصد دارد به عیادت دوستش برود. او به یکی از دو انتخاب یک شاخه گل یا یک نوع شیرینی برای بردن به خانه دوستش فکر می کند. گل هایی که او در نظر دارد عبارتند از مریم گالیل زنبق و ر ز. شیرینی هایی که او درنظر دارد عبارتند از گردویی نارگیلی و کشمشی. او چند انتخاب دارد. هفته بعد پژمان می خواهد به دیدن خانه جدید یکی از دوستانش برود. او این بار می خواهد یک شاخه گل و یک نوع شیرینی بخرد و همان گزینه ها را در ذهن دارد. او این بار به چند حالت می تواند خرید کند آنها را بنویسید. در هر یک از قسمت های )( و )( از چه اصلی استفاده کردید چرا 4 دو مسئله طرح کنید که یکی با اصل جمع و یکی با اصل ضرب حل شود. در برخی مسائل لزم است از هر دو اصل جمع و ضرب استفاده شود. مثال فردی قصد دارد از تهران به اصفهان برود. او قصد دارد یا با اتومبیل خود و یا با قطار این سفر را انجام دهد. اگر با اتومبیل خود این سفر را انجام دهد مسیرها و انتخاب های او مانند مثال قبل است و اگر تصمیم بگیرد با قطار برود سه نوع قطار می تواند انتخاب کند. او در کل چند انتخاب دارد حل: اگر با اتومبیل برود طبق اصل ضرب به 6 طریق ممکن است و اگر قطار را انتخاب کند سه طریق. لذا طبق اصل جمع در کل 9 انتخاب دارد. با رسم یک شکل این پاسخ را توجیه نمایید.

122 مثال: رمزی از سه حرف تشکیل شده است که هر کدام می توانند از حروف فارسی یا حروف کوچک انگلیسی باشند. اگر حروف کنارهم از یک زبان نباشند برای این رمز چند حالت ممکن وجود دارد حل: حالت اول: اگر گزینه سمت چپ حرف فارسی باشد: = 664 * 6 * حالت دوم: اگر گزینه سمت چپ حرف انگلیسی باشد: = 6 6 * * 6 تعداد حالت ممکن: = فصل : 6 ترکیبیات کار در کالس الف می خواهیم ببینیم با سه رقم 5 و و چند عدد سه رقمی می توان نوشت. به طور مثال 5 و 5 و 5 سه نمونه از این اعداد هستند. برای این کار می توان نوشتن عدد سه رقمی را به صورت پرکردن سه جایگاه مقابل با ارقام مذکور درنظر گرفت. یکان دهگان صدگان بنابراین کاری است که سه مرحله دارد و هر سه مرحله آن باید انجام شود لذا برای به دست آوردن جواب تعداد راه های پرکردن هر جایگاه باید مشخص شده و با استفاده از اصل ضرب درهم ضرب شود. هر جایگاه را به سه حالت می توان پر کرد لذا 7 عدد وجود دارد. 5 یا یا 5 یا یا 5 یا یا = * * تعداد حالت ها با نمودار درختی در سال های پیش آشنا شده اید. از این نمودار نیز می توان برای به دست آوردن تعداد اعداد موردنظر و نیز نوعی از نمایش آنها استفاده کرد.به نمودار درختی کشیده شده در حاشیه صفحه دقت کنید و آن را تکمیل نمایید. ب می خواهیم ببینیم با همان سه رقم چند عدد سه رقمی می توان ساخت که رقم تکراری نداشته باشد. برای پرکردن جایگاه اول از سمت چپ )صدگان( چند حالت امکان دارد تعداد حالت ها حال فرض کنیم یکی از اعداد را در اولین جایگاه گذاشتهایم برای پرکردن جایگاه دوم چند حالت امکان دارد یک عدد قرار گرفته است تعداد حالت ها

123 برای پرکردن جایگاه سوم چند حالت وجود دارد لذا = * * عدد سه رقمی توسط و و 5 با ارقام غیرتکراری وجود دارد. یک عدد قرار گرفته است درس اول: شمارش یک عدد قرار گرفته است تعداد حالت ها ج می خواهیم ببینیم با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج می توان نوشت. جایگاه سمت راست به چند روش می تواند پر شود به گونه ای که عدد ساخته شده زوج باشد دو جایگاه دیگر هر یک به چند روش می توانند پر شوند لذا تعداد اعداد در این حالت برابر است با = * * د می خواهیم ببینیم با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری می توان نوشت. جایگاه سمت راست به چند روش می تواند پر شود به گونه ای که عدد ساخته شده زوج باشد پس از پرکردن جایگاه سمت راست جایگاه وسط به چند طریق می تواند پر شود پس از پرکردن دو جایگاه سمت راست و وسط جایگاه سمت چپ به چند طریق می تواند پرشود 4- لذا تعداد اعداد مورد نظر در این حالت برابر است با...=...*...*... مثال با ارقام 7 و و و 0 الف( چند عدد سه رقمی می توان نوشت ب( چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می توان نوشت ج(چند عدد سه رقمی فرد با ارقام غیرتکراری می توان نوشت د( چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری می توان نوشت 4 4 حل: الف( با توجه به اصل ضرب و چون رقم صفر در جایگاه صدگان نمی تواند باشد بنابراین تعداد حالت ها مطابق شکل مقابل می باشد. لذا 48 عدد سه رقمی با ارقام مذکور می توان نوشت. * 4 * 4 = 48 تعداد حالت ها

124 ب( طبق اصل ضرب و با توجه به اینکه رقم صفر در سمت چپ نمی تواند بیاید و ارقام نباید تکراری باشند لذا تعداد حالت ها مطابق شکل مقابل می باشد. بنابراین 8 عدد می توان نوشت. * * = 8 فصل : 6 ترکیبیات تعداد حالت ها ج( با توجه به اینکه رقم سمت راست باید یا 7 باشد و رقم صفر هم نمی تواند رقم سمت چپ باشد. لذا تعداد حالت ها به صورت مقابل است. * * = 8 تعداد حالت ها د( چون عدد موردنظر باید زوج باشد لذا رقم سمت راست باید 0 یا باشد و چون در حالتی که رقم سمت راست باشد رقم 0 سمت چپ هم نمی تواند باشد لذا باید دو حالت زیر را درنظر بگیریم و طبق اصل جمع تعداد حاصل در دو حالت را با هم جمع کنیم. حالت اول: اگر رقم سمت راست باشد یعنی رقم سمت راست یک حالت می تواند باشد لذا طبق اصل ضرب تعداد حالت ها به صورت مقابل است. * * =4 یا 7 تعداد حالت ها حالت دوم: اگر رقم سمت راست 0 باشد حالت های جایگاه ها بصورت مقابل می باشد. * * =6 لذا در کل 0 عدد می توان نوشت. یا یا 7 0 تعداد حالت ها راه حل دوم: با توجه به صورت سؤال های )ب( )ج( و )د( می توان به صورت زیر جواب را محاسبه کرد: 0=8-8= جواب قسمت )ج( - جواب قسمت )ب( = جواب قسمت )د( تمرین تعداد حالت های ممکن برای رمز یک دستگاه را در حالت های زیر به دست آورید. مشخص کنید برای این کار از اصل جمع استفاده می شود یا از اصل ضرب یا از هر دو. الف( این رمز از یک گزینه تشکیل شده که یا یک عدد و یا یک حرف الفبای فارسی است. ب( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که گزینه اول یک عدد و گزینه دوم یک حرف الفبای فارسی است. ج( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یکی از گزینه ها یک عدد و گزینه دیگر یک حرف الفبای فارسی است. 4

125 د( این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یا هر دو گزینه عدد هستند و یا هر دو گزینه حروف انگلیسی هستند. ه( این رمز از 4 گزینه تشکیل شده است که دو گزینه اول اعداد غیرتکراری و دو گزینه دوم حروف انگلیسی غیرتکراری هستند. درس اول: شمارش در یک شهرک صنعتی 5 بلوار اصلی و در هر بلوار بین 8 تا 0 خیابان و در هر خیابان بین 0 تا کوچه و در هر کوچه بین 0 تا 0 کارخانه وجود دارد. حداقل و حداکثر تعداد کارخانه هایی که ممکن است در این شهرک وجود داشته باشد چند تاست A می خواهیم رأس های مثلث زیر را با دو رنگ قرمز و آبی رنگ کنیم. الف( به چند طریق این کار امکان پذیر است ب( به چند طریق می توان این رنگ آمیزی را انجام داد به گونه ای که رأس هایی که به هم وصل هستند هم رنگ نباشند. ج( هر دو قسمت )الف( و )ب( را در حالتی که از سه رنگ مختلف استفاده می کنیم بررسی کنید. B 4 با پالک هایی به صورت زیر که عدد دو رقمی سمت راست آنها از مجموعه A انتخاب C شوند و سایر ارقام از مجموعه B انتخاب شوند و حرف استفاده شده در آن از مجموعه C انتخاب شود چند ماشین را می توان شماره گذاری کرد A=},,,99{ B=},,, 4,5, 6, 7, 8,9{ }ی, ه, و, ن, م, ل, ق, ط, ص, س, د, ج, ب{= C 5 در یک کشور نوعی اتومبیل در 5 مدل 0 رنگ حجم موتور مختلف و نوع دنده )اتوماتیک و غیر اتوماتیک(تولید می شود. الف( چند نوع مختلف از این اتومبیل تولید می شود ب( اگر یکی از رنگ های تولید شده مشکی باشد چند نوع از این اتومبیل بارنگ مشکی تولید می شود ج( چند نوع از این اتومبیل مشکی دنده اتوماتیک تولید می شود 5

126 6 یک آزمون تستی شامل 0 سوال 4 گزینه ای و 5 سوال گزینه ای )بله - خیر( می باشد و فردی قصد دارد به سوال ها بصورت تصادفی جواب دهد. او به چند روش می تواند این کار را انجام دهد اگر: الف( اگر مجبور باشد به همه سوال ها جواب دهد ب( بتواند سوال ها را بدون جواب هم بگذارد فصل : 6 ترکیبیات 7 اگر شکل مقابل نشان دهندۀ جاده های بین شهرهای A و B و C و D و E باشد و همه A جاده ها یک طرفه باشند به چند طریق می توان از شهر A به شهر E رفت B E C D 8 مسئله زیر را به گونه ای کامل کنید که جواب ارائه شده درست باشد. مسئله : چند عدد دو رقمی زوج می توان نوشت بطوریکه... حل: تعداد راه های نوشتن یکان برابر 5 تاست و تعداد راه های نوشتن دهگان برابر 4 تاست. لذا با توجه به اصل ضرب 0 عدد با شرایط مورد نظر وجود دارد. 9 مسئله ای طرح کنید که با استفاده از اصل جمع یا اصل ضرب و یا هردوی آنها حل شود و جواب آن به صورت زیر باشد. ** + ** = 5 6

127 درس دوم: جایگشت درس دوم: جایگشت جایگشت سه فیش و سه درگاه مانند شکل مقابل وجود دارند که باعث اتصال دو دستگاه الکتریکی به هم می شوند. برای اتصال درست دو دستگاه باید هر فیش به درگاه مخصوص به خود وصل شده باشد. چند حالت مختلف برای اتصال سه فیش به سه درگاه وجود دارد بین تمام حالت ها فقط یکی منجر به کارکردن درست دستگاه می شود. آیا می دانید برای راحت تر پیدا کردن حالت درست شرکت های تولیدی چگونه عمل می کنند فعالیت a a b c c b فرض کنید فیش ها را به نام های a وb و c بنامیم. حالت های مختلف قرار دادن آنها را درمربع های زیر بنویسید. آیا در سه مربع به هم چسبیده عددی می تواند تکرار شود با توجه به اصل ضرب چگونه می توان تعداد این چینش ها را به دست آورد فعالیت به چند حالت مختلف می توان چهار عدد و و و 4 را کنار هم قرار داد می خواهیم مسئله قبل را با استفاده از اصل ضرب حل کنیم. فرض کنید 4 مربع به صورت مقابل وجود دارد که پرکردن هر کدام از مربع ها یک مرحله از چینش است. واضح است که هر چهار مرحله باید انجام شود لذا تعداد حالت های ممکن برای پرکردن مربع ها باید در هم ضرب شود. اولین مربع )مثال مربع سمت چپ( به چند روش می تواند پرشود پس از پرشدن اولین مربع چند عدد چیده نشده باقی مانده است حال دومین مربع را به چند روش می توان پر کرد سومین و چهارمین مربع را چطور حال با توجه به اصل ضرب تعداد حالت های ممکن برابر است با * * *»اگر چند شیء متمایز داشته باشیم به هر حالت چیدن آنها کنار هم یک جایگشت از آن اشیاء می گوییم.«7

128 بنابراین تعداد راههای چیدن چهار شیء متمایز یا بهعبارتی تعداد جایگشتهای چهار شیء * * * متمایز عبارتست از حاصلضرب بهنظر شما تعداد روشهای چیدن پنج حرف یونانی α و β و γ و δ و θ )بهترتیب آلفا بتا گاما دلتا و ت تا خوانده میشوند( کنار هم و بدون تکرار یا بهعبارتی تعداد جایگشتهای پنج شیء متمایز چندتاست تعداد کلمات هفت حرفی )با معنی و بدون معنی( که از کنار هم قرار دادن حروف»تشوانپ«و»ه«میتوان ساخت چندتاست. )بدون تکرار حروف( 4 با استفاده از ارقام چند عدد 9 رقمی با ارقام متمایز میتوان نوشت 5 تعداد جایگشتهای 0 شیء متمایز چندتاست 6 اگر n یک عدد طبیعی باشد تعداد جایگشتهای n شیء متمایز را با یک حاصلضرب نشان دهید. فصل : 6 ترکیبیات معرفی یک نماد اگر n یک عدد طبیعی باشد حاصلضرب اعداد طبیعی و متوالی از تا n را بهصورت!n )n فاکتوریل( نمایش میدهیم. به طور مثال =! * =! **=! و الی آخر قرار داد: =!0 حال با توجه به این نماد تعداد جایگشتهای n شیء متمایز برابر است با. کار در کالس مانند نمونه هر قسمت را کامل کنید. 5! 6 = = 6! )الف 5!!8 )ب!n )د!0 )ج حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. 4! 5! 5 4 = = 5 4! 4 4! )ب )ث )الف ( ت 8! 6! 0! 9! 0! 8! n! (n )! n! (n )! )پ )ج چ 8! 5! 0! 7! )ح )خ n! (n )! n! (n 4)! )ذ )د n! (n 5)! n! (n k)! )ر 8

129 درس دوم: جایگشت حاصل ضربهای زیر را مانند نمونه با استفاده از نماد فاکتوریل نمایش دهید. 9! = 9*8 )الف 6*7*8*9 )ب 7! 8 )ت 9*0* )پ n(n-()n-()n-( )ج n(n-( )ث فعالیت تعداد کلمات هفت حرفی که بدون تکرار حروف با حروف a, b,d, e, f, s, t می توان نوشت یعنی تعداد جایگشت های هفت شیء متمایز برابر است با. حال با توجه به اصل ضرب می خواهیم تعداد کلمات سه حرفی با حروف متمایز که با همان هفت حرف بال می توان نوشت را به دست آوریم. برای انتخاب اولین حرف از حروف کلمه سه حرفی چند انتخاب داریم برای انتخاب دومین و سومین حرف چطور بنابراین تعداد کلمات سه حرفی موردنظر برابر است با.. در واقع آنچه به دست آمد تعداد راه های چیدن سه شیء از هفت شیء متمایز و یا به عبارتی تعداد جایگشت های سه تایی از هفت شیء متمایز می باشد. تعداد جایگشت های چهارتایی از نه شیء متمایز را به دست آورید. 4 اعداد به دست آمده در مراحل و را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. 5 تعداد جایگشت های سه تایی از n شیء متمایز را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. 6 تعداد جایگشت های rتایی از n شیء متمایز )n 0( r را به دست آورید و آن را با استفاده از فاکتوریل بنویسید. تعداد جایگشتهای r تایی از n شیء متمایز یا به عبارتی تعداد انتخابهای r شیء از بین n شیء متمایز که در آنها ترتیب قرار گرفتن مهم باشد را با p)n,r( نمایش میدهیم و مقدار آن از دستور زیر محاسبه میشود. n! P(n,r) = (n r)! 9

130 فصل : 6 ترکیبیات مثال با حروف کلمه»جهانگردی«و بدون تکرار حروف الف چند کلمه 8 حرفی میتوان نوشت چند تا از آنها به»ی«ختم میشود ب چند کلمه 8 حرفی میتوان نوشت که در آنها حروف»د«و»ی«کنار هم قرار داشته باشند ج چند کلمه 6 حرفی میتوان نوشت چند تا از آنها به»گردی«ختم میشوند د چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه»جهان«چهار حرف اول باشند ه چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه»جهان«کنار هم باشند و چند کلمه 8 حرفی می توان نوشت که با حرف نقطه دار شروع شوند حل: الف( برای نوشتن تمام کلمات 8 حرفی بدون حروف تکراری با این 8 حرف کافی است تعداد جایگشت های 8 شیء متمایز را به دست آوریم لذا جواب برابر!8 می باشد. در حالتی که حرف آخر» ی«باشد کافیست تعداد جایگشت ها روی هفت حرف دیگر را به دست آوریم لذا در این حالت جواب برابر!7 است. ب( حروف»د«و»ی«به دو حالت»دی«و»ید«می توانند کنار هم بیایند. برای پیداکردن تعداد کلماتی که در آنها این دو حرف به صورت»دی«در کنار هم آمده اند کافی است این دوحرف را یک حرف درنظر بگیریم لذا کافی است تعداد جایگشت های هفت شیء متمایز را به دست آوریم که برابر است با!7. چون همین تعداد هم برای حالت»ید«وجود دارد لذا جواب کلی برابر است با!7*. پ( تعداد کلمات شش حرفی برابر است با تعداد جایگشت های شش تایی از هشت شیء متمایز 8! 8! یعنی = = ), 86 )P در حالتی که کلمه بخواهد به»گردی«ختم شود با توجه به ( 8 6)!! اینکه چهار حرف آخر مشخص هستند لذا فقط باید تعداد حالتهای نوشتن دو حرف اول توسط حروف کلمه»جهان«را بهدست آورد که برابر است با تعداد جایگشتهای دوتایی از چهار شیء متمایز یعنی 4! P( 4, ) = = ( 4 )! 0

131 ت( چهار حرف اول حروف کلمه "جهان" هستند که به!4 حالت می توانند بیایند.حال 4 حرف آخر را باید با 4 حرف باقیمانده)گ ر د ی ) نوشت که این کارهم به!4 روش می توان انجام شود. لذا طبق اصل ضرب نوشتن کلمه مورد نظر به!4 *!4 روش می تواند انجام شود. درس دوم: جایگشت ث( تعداد حالت های قرار گرفتن حروف کلمه»جهان«در کنار هم برابراست با تعداد جایگشت های چهار شیء متمایز یعنی!4. حال هر کدام از این جایشگت ها را که درنظر بگیریم برای نوشتن کلمه 8 حرفی کافی است این چهار حرف کنار هم قرار گرفته )چهار کلم ه»جهان«( را یک حرف حساب کنیم لذا کافی است تعداد جایگشت های پنج شیء متمایز را حساب کنیم که برابر است با!5. لذا طبق اصل ضرب جواب برابر است با!5*!4. ج( حروف اول باید یکی از سه حرف»جن«و»ی«باشد. لذا انتخاب برای حرف اول داریم. حال با انتخاب هرکدام از این حرف برای چینش 7 حرف دیگر!7 را وجود دارد لذا جواب برابر است با!7*. کار در کالس یک مربی فوتبال قصد دارد برای بازی پیش رو در تیم خود یک دفاع راست یک دفاع چپ یک دفاع جلو و یک دفاع عقب قرار دهد. او شش بازیکن دفاعی دارد که می توانند در هر کدام از این چهار پست بازی کنند. در شروع بازی چند حالت برای چیدن این خط دفاعی برای این مربی وجود دارد با عددهای 5 و و و چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری می توان نوشت تمرین در هفته های پایانی یک لیگ فوتبال مشخص شده است که فقط پنج تیم بالی جدول شانس قهرمانی دارند.به چند حالت مختلف تیم های اول تا سوم می توانند مشخص شوند از بین تعدادی کتاب مختلف می خواهیم سه کتاب را انتخاب کرده و در قفسه ای بچینیم. اگر تعداد حالت های مختلف برای این کار 0 تا باشد تعداد کتاب ها چند تاست کدامیک از موارد زیر درست و کدام نادرست است 6! =! +! 6! = 6 * 5! 8! = 4! *! *! = 6! )!( = 9! 8! = 0! 0 9!

132 4 در یک نوع ماشین حساب کوچک که دارای 0 دکمه است برای انجام یک دستور خاص باید سه دکمه مشخص با ترتیبی مشخص فشار داده شوند. اگر فردی نداند سه دکمه مورد نظر کدامند و بخواهد بطور تصادفی این کار را انجام دهد و فشردن هر سه دکمه ثانیه زمان بخواهد این فرد حداکثر )در بدترین حالت( در چه زمانی می تواند دستور مورد نظر را اجرا کند فصل : 6 ترکیبیات 5 با حروف کلمه»گل پیرا«و بدون تکرار حروف الف( چند کلمه 6 حرفی می توان نوشت چند تا از آنها با»گل«شروع می شود ب( چند کلمه 4 حرفی می توان نوشت ج( چند کلمه 4 حرفی می توان نوشت که در آنها دو حرف»پ«و»ر«در کنار هم آمده باشند د( چند کلمه 5 حرفی می توان نوشت که در آنها حروف کلمه»پیرا«کنار هم آمده باشند

133 درس سوم: ترکیب درس سوم: ترکیب فعالیت عدد سه رقمی با رقم های غیرتکراری می توان نوشت که عبارتند از: 5! ( )! = 60 5 همانطور که دیدید با پنج رقم 4 و 5 تعداد به شش عدد هر ستون نگاه کنید. چه ویژگی دارند با توجه به ستون های جدول بال چگونه می توانیم تمام زیرمجموعه های سه عضوی مجموعه }5 {=A,,, 4, را بنویسیم. این زیرمجموعه ها چندتا هستند آنها را بنویسید....و} },, چه تفاوتی در فعالیت و وجود داشت که تعداد حالت های مورد نظر آنها را متمایز کرد 4 هر ستون در فعالیت چند زیر مجموعه سه عضوی از فعالیت را به دست می دهد 5 با توجه به فعالیت 4 از تقسیم جواب فعالیت بر چه عددی تعداد زیرمجموعه های فعالیت حاصل می شود. این عدد را چگونه می توان به دست آورد نتیجه: همانطور که مشاهده کردید در فعالیت ترتیب قرارگرفتن هر سه عدد انتخاب شده در کنار هم اهمیت دارد اما در فعالیت تمام 6 روش چینش هر سه عدد انتخاب شده یک زیرمجموعه سه عضوی از مجموعه A را مشخص میکند یعنی در واقع هر زیرمجموعه عضوی یک حالت را مشخص میکند و فقط تعداد زیر مجموعههای سه عضوی از پنج عضو موردنظر اهمیت دارد. n! ازطرفی میدانیم تعداد جایگشتهای r شیء از n شیء متمایز برابر است با P(n,r) = (n r)!

134 لذا با توجه به فعالیت های تا 6 تعداد زیرمجموعه های r عضوی از n شیء متمایز برابر است با فصل : 6 ترکیبیات P(n,r) r! به هر انتخاب r شیء از n شیء متمایز که در آن ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد یا به عبارتی به هر زیرمجموعه r عضوی از n شیء متمایز یک ترکیب r تایی از n شیء میگوییم. تعداد ترکیب های r تایی از n شیء متمایز را معمول با C)n,r( یا n r نمایش می دهیم و داریم: n n! = r (n r)!r! ) 0 r n( مثال از میان شش کتاب مختلف الف به چند طریق می توانیم چهار کتاب را در یک قفسه کنار هم بچینیم ب به چند طریق می توانیم چهار کتاب را برای هدیه دادن به فردی انتخاب کنیم حل: الف( چون ترتیب چیدن کتاب ها در قفسه مهم است لذا جواب برابر است با تعداد جایگشت های چهارتایی از شش شیء متمایز یعنی 6! P( 6, 4) = = 60 ( 6 4)! ب( چون ترتیب انتخاب کتاب ها اهمیتی ندارد لذا فقط باید تعداد انتخاب های چهار شیء از شش شیء متمایز یعنی تعداد زیرمجموعه های چهارتایی از شش شیء متمایز را محاسبه کرد که برابر است با مثال 6 6! = = 5 4 ( 6 4)! 4! در یک دوره مسابقات کشتی از بین 4 داور ایرانی داور ژاپنی و داور روسی قرار است کمیته ای از داوران تشکیل گردد. به چند روش می توان این کار را انجام داد اگر: الف کمیته 4 نفره باشد. ب کمیته نفره باشد و از هر یک از سه کشور یک نفر در کمیته باشد. ج کمیته 5 نفره باشد و دقیقا دو داور ایرانی داشته باشد. د ه کمیته 5 نفره باشد و حداقل داور ایرانی داشته باشد. کمیته 7 نفره باشد و شامل داور ایرانی داور ژاپنی و داور روسی باشد. و کمیته 5 نفره باشد و حداقل یک داور ایرانی داشته باشد. 4

135 حل: الف( چون فرقی ندارد که 4 نفر انتخاب شده از کدام کشور باشند لذا تنها تعداد زیرمجموعههای 4 نفره از این 9 نفر مورد نظر است که برابر است با: درس دوم: جایگشت 9 9! ! = = = 6 4 5!! 4 5! 4 4 = و به همین طریق راه ب( تعداد روشهای انتخاب یک داور ایرانی برابر است با 4 برای انتخاب داور ژاپنی و راه برای انتخاب داور روسی وجود دارد و لذا طبق اصل ضرب تعداد روشهای انجام این کار برابر است با 4** =4 ج( تعداد راه های انتخاب دو داور ایرانی برابر است با 4 =. حال داور دیگر باید از 6 5 حالت میتوانند انتخاب شوند. لذا طبق = بین 5 داور غیرایرانی انتخاب شوند که به 0 اصل ضرب تعداد روشهای انجام کار برابر است با 6*0 =60 د( در این حالت تعداد داوران ایرانی یا نفر و یا 4 نفر میتواند باشد. در حالتیکه تعداد داوران ایرانی نفر باشد این داوران به 4 4 = حالت می توانند انتخاب شوند. در این صورت دو نفر دیگر باید از بین 5 داور غیرایرانی انتخاب شوند که این کار به می تواند انجام شود لذا طبق اصل ضرب 40=4*0 روش وجود دارد. در حالتی که تعداد داوران ایرانی 4 نفر باشد انتخاب این 4 داور به 5 = طریق = روش صورت 5 = طریق میگیرد و یک داور دیگر باید از بین 5 داور غیرایرانی انتخاب شود که به 5 میتواند صورت گیرد لذا طبق اصل ضرب برای این حالت 5=*5 روش وجود دارد و جواب کل برابر است با 45= ه( تعداد روش های انتخاب داور ایرانی برابر است با داور ژاپنی برابر است با 4 = تعداد روش های انتخاب 4 = و تعداد راه های انتخاب داور روس برابر است با = لذا طبق اصل ضرب جواب برابر است با =**4. و( میدانیم تعداد کل کمیته های 5 نفره که می توان انتخاب کرد برابر است با طرفی این کمیته های 5 نفره به دو دسته زیر تقسیم می شوند: دسته اول: حداقل یک ایرانی در آنها است. 9 از = 6 5

136 دسته دوم: هیچ ایرانی در آنها نیست. جمع افراد این دو دسته برابر 6 می شود و از آنجا که محاسبه دسته دوم آسان تراست کافی است تعداد دسته دوم را محاسبه کنیم و از 6 کم کنیم. اما تعداد افراد دسته دوم برابر 5 5 = است. چرا لذا تعداد افراد دسته اول برابر است با 5= 6- فصل : 6 ترکیبیات کار در کالس در کدام یک از موارد زیر ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت دارد و باید تعداد جایگشت های r شیء از n شیء متمایز مشخص شود و در کدام یک ترتیب قرار گرفتن اشیاء اهمیت ندارد و باید تعداد ترکیب های r تایی از n شیء متمایز مشخص شود الف( ساختن کلمهای سه حرفی بدون حرف تکراری با 5 حرف متمایز. )با معنی و بی معنی( ب( انتخاب سه شاخه گل از بین پنج شاخه گل متمایز. ج( انتخاب یک دفاع چپ یک دفاع راست و یک دفاع وسط از بین هفت مدافع که همگی در تمامی پست ها توانایی بازی دارند. د( از بین هفت بازیکن دفاعی یک تیم سه نفر قرار است از تیم کنار گذاشته شوند. ه( ده نفر در یک دوره مسابقات شرکت خواهند کرد و سه نفر اول به المپیک راه خواهند یافت. و( ده نفر در یک مسابقه شرکت کرده اند و قرار است به نفرات اول تا سوم به ترتیب مدال های طال نقره و برنز داده شود. در هر کدام از موارد کار در کالس تعداد حالت های ممکن را بنویسید. )نیاز به ساده کردن جواب نیست( از میان 8 ریاضی دان و 6 فیزیکدان و 5 شیمی دان قرار است کمیته ای علمی انتخاب شود. به چند طریق این کمیته می تواند انتخاب شود هرگاه: الف( کمیته 6 نفره باشد و از هر رشته نفر در آن عضو باشند. ب( کمیته نفره باشد و از هر رشته حداقل یک نفر در آن عضو باشند. ج( کمیته نفره باشد و حداقل یک ریاضی دان در آن باشد. فعالیت از بین دو مدرس ریاضی دو مدرس فیزیک و دو مدرس شیمی قرار است یک کمیته دو نفره انتخاب شود به گونه ای که دو نفر انتخاب شده هم رشته نباشند. چندحالت برای انجام این کار وجود دارد 6

137 به جواب های چند دانش آموز به سؤال بال که در زیر آمده است دقت کنید. محمد: از دو تا از رشته ها باید هر کدام یک نفر انتخاب شوند و از رشته سوم کسی انتخاب نشود لذا سه حالت زیر را می توان درنظر گرفت: ریاضی یک نفرانتخاب شود فیزیک یک نفر انتخاب شود و شیمی کسی انتخاب نشود. درس دوم: جایگشت = 0 **=4 ریاضی یک نفرانتخاب شود فیزیک کسی انتخاب نشود و شیمی یک نفر انتخاب شود. = 0 **=4 ریاضی کسی انتخاب نشود فیزیک یک نفر انتخاب شود و شیمی هم یک نفر انتخاب شود. لذا در کل =4+4+4 حالت امکان دارد. = 0 **=4 پژمان: می توان روش محمد را خالصه تر کرد یعنی یک مرحله ابتدا تعداد حالت های انتخاب راه امکان دو رشتهای که قرار است از آنها کسی انتخاب شود را محاسبه میکنیم که به دارد حال از هر کدام از دو رشته انتخاب شده به دو راه میتوان یک فرد انتخاب کرد لذا جواب برابر است با =**. حمید: ولی من فکر می کنیم مستقیما با اصل ضرب به روش زیر می توان آن را حل کرد. اولین فرد انتخاب شونده می تواند هر کدام از 6 نفر باشد لذا 6 حالت برای انتخاب اولین فرد وجود دارد. اما وقتی اولین فرد انتخاب شد دومین فردی که قرار است انتخاب شود نمی تواند هم رشته او باشد لذا برای انتخاب دومین فرد چهار راه وجود دارد. بنابراین تعداد کل راه های انتخاب برابر 4=4*6 حالت می باشد. دو نفر مدرس ریاضی را M و M دو نفر مدرس فیزیک را P و P و دو نفر مدرس شیمی را C و C درنظر بگیرید و تمام حالت های ممکن برای آنها را بنویسید و جواب غلط را مشخص نمایید. نمودار درختی جواب غلط را بکشید. سپس علت غلط بودن آن را مشخص نمایید. 7 فعالیت می دانیم که n r همان تعداد زیر مجموعه های rتایی از n شیء متمایز می باشد. حال را یکبار با توجه به این تعبیر از n r n n و 0 و یکبار با فرمول به دست آورید.

138 به زمین می روند الف( یک مربی قصددارد از بین بازیکنان شمارههای 5 و 4 و و و سه نفر را برای رفتن به زمین بازی انتخاب کند. چند حالت برای این کار امکان دارد با پرکردن جدول مقابل تمام حالت را نمایش دهید.,,,, 4 فصل : 6 ترکیبیات به زمین نمیروند 4, 5, 5 ب( این بار این مربی قصد دارد از بین همان بازیکنان دو بازیکن انتخاب کند که بر روی نیمکت بنشینند. چه انتخاب هایی دارد ج( بین تعداد انتخابهای میکنید د( درستی تساوی n r فرمول بررسی کنید. 5 5 و = n چه رابطه ای هست چگونه این رابطه را توجیه را یکبار با استفاده از توجیه بال ویکبار با استفاده از n r جاهای خالی را پرکنید. الف( تعداد زیرمجموعههای 5 عضوی حروف انگلیسی برابر است با ب( تعداد زیرمجموعههای 5 عضوی حروف انگلیسی که حرف a در آنها هست برابر است با ج( تعداد زیرمجموعه های 5 عضوی حروف انگلیسی که حرف a در آنها نیست برابر است با = + د( بنابراین 4 فرض کنیم A یک مجموعه n عضوی و a یکی ازاعضای آن باشد. )a A( الف( تعداد زیرمجموعه های r عضوی مجموعه A برابر است با ب( تعداد زیرمجموعه های r عضوی A که a در آنها هست برابر است با ج( تعداد زیرمجموعه های r عضوی A که aدر آنها نیست برابر است با د( بنابراین تمرین = + 8

139 تمرین یک فروشنده تنقالت در فروشگاه خود پسته بادام گردو تخم کدو تخمه ژاپنی نخودچی و کشمش دارد. از نظر او در یک آجیل حداقل پنج نوع از تنقالت فوق باید وجود داشته باشد. او با تنقالت موجود در فروشگاهش چند نوع آجیل می تواند درست کند درس دوم: جایگشت یک اداره دارای 8 پرسنل است. این اداره دارای رییس معاون حسابدار 6 کارشناس اداری کارمند کارگزینی و کارشناس امور حقوقی می باشد. این اداره ماهانه باید جلسه ای 5 نفره جهت بررسی و تصویب آخرین طرح های پیشنهادی برگزار کند. به چند طریق این گروه 5 نفره می تواند انتخاب شود هرگاه: الف( رییس و دقیقا یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند. ب( رییس و دقیقا یک معاون و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند. ج( رییس و دقیقا یک معاون یک حسابدار و یک کارشناس امور حقوقی در جلسه باشند. در یک کالس تعدادی از دانش آموزان که همگی دارای شرایط علمی خوبی هستند داوطلب حضور در مسابقات علمی مدرسه هستند. معلم قصد دارد نفر را به تصادف انتخاب کند و این دو نفر را به 8 روش می تواند از بین داوطلبان انتخاب کند. تعداد داوطلبان چند تا بوده است 4 گل فروشی در فروشگاه خود 0 نوع گل مختلف دارد. او در هر دسته گل از تا 5 شاخه گل متمایز قرار می دهد. او چند دسته گل مختلف می تواند درست کند 5 یک نقاش قوطی هایی از 4 رنگ قرمز آبی زرد مشکی دارد. اگر او با هر ترکیب دو یا تعداد بیشتری قوطی از رنگ های متمایز بتواند دقیقا یک رنگ جدید بدست آورد او چند رنگ می تواند داشته باشد چرا با اینکه در کارهای هنری فقط از همین 4 رنگ استفاده می شود اما تعداد رنگ های حاصل بیشتر از جواب شماست 6 هفت نقطه A وB و C و D و E و F و G روی محیط یک دایره قرار دارند. چند مثلث مختلف می توان کشید که رئوس آن از این هفت نقطه انتخاب شده باشند 9

140 7 یک آشپز ده نوع ادویه دارد. او با استفاده از هر تا از این ادویه ها یک طعم مخصوص درست می کند. این آشپز چند طعم می تواند درست کند هرگاه الف( هیچ محدودیتی در استفاده از ادویه ها نداشته باشد. ب( دو نوع ادویه هستند که با هم نمی توانند استفاده شوند. ج( سه ادویه هستند که نباید هر سه باهم استفاده شوند. د( ادویه ها به دسته 5 تایی تقسیم می شوند که هیچ یک از ادویه های دسته اول با هیچیک از ادویه های دسته دوم سازگاری ندارند. فصل : 6 ترکیبیات 8 مسئله ای طرح کنید که جواب آن برابر باشد با: 5 6 الف( ب( اشترانکوه لرستان 40

141 آمار و احتمال 7 فصل امروزه آمار و احتمال به عنوان یک علم پرکاربرد در همه علوم از جمله علوم پزشکی علوم فنی ومهندسی هواشناسی محیط زیست و غیره مورد استفاده قرار می گیرد. درس اول احتمال یا اندازه گیری شانس درس دوم مقدمه ای بر علم آمار جامعه و نمونه درس سوم متغیر و انواع آن آمار و احتمال در کشاورزی آمار و احتمال در پزشکی آمار و احتمال درمحیط زیست آمار و احتمال در مهندسی کامپیوتر

142 فصل : 7 آمار و احتما ل درس اول: احتمال یا اندازه گیری شانس مقدمه پیشامدهایی وجود دارند که ممکن است رخ بدهند یا رخ ندهند و ما ازچگونگی رخ داد آنها اطالع نداریم. به عنوان مثال تا زمانی که سکه را پرتاب نکرده ایم نتیجه پرتاب سکه )پشت یا رو( مشخص نیست. چنین پدیده ها یا آزمایش هایی را که نتیجه آن به طور دقیق قابل پیش بینی نباشد اما از همه حالت های ممکن در به وقوع پیوستن آنها مطلع باشیم پدیده ها یا آزمایش های تصادفی می نامیم. به عنوان مثال نتیجه یک بازی فوتبال از قبل قابل پیش بینی نیست اما سه حالت ممکن پیروزی تساوی و باخت برای هر یک از تیم ها وجود دارد که ممکن است اتفاق بیفتد. همانطور که در سال قبل خواندید مجموعه شامل همه این حالت های ممکن فضای نمونه ای نامیده می شود. اگر این مجموعه را S بنامیم هر زیر مجموعه S مانند A را یک پیشامد تصادفی در S می نامیم. پیشامدهای تصادفی فعالیت اگر دو تاس آبی و قرمز را با هم بیاندازیم همه حالت های ممکن را می توان در جدول زیر مشاهده کرد. ابتدا این جدول را کامل کرده و از طریق اصل ضرب درستی تعداد کل حالت های موجود در جدول را بررسی کنید و سپس به سؤال های زیر پاسخ دهید: ),( ),( ),5( ),( ),( ),6( ),( ),5( 4 )4,( 5 )5,6( 6 )6,( )6,6( 4

143 قطر آبی رنگ چه پیشامدی را نشان می دهد. درس اول: احتمال یا اندازه گیری شانس خانههای مربوط به حالتهایی که هر دو عدد رو شده زوج و هر دو عدد رو شده فرد هستند را هاشور بزنید چه الگویی بهدست می آید 4 با توج ه به جدول یک مسئله طرح کنید و پاسخ آن را توضیح دهید. 5 با توج ه به جدول و قطرهای آن تعداد حالت ها برای مجموع دو تاس در چه اعدادی برابر است )راهنمایی: به عنوان مثال تعداد حالت ها برای مجموع 5 و مجموع دو تاس 9 برابر است( کار در کالس فرض کنید می خواهیم یک تاس و یک سکه را با هم بیاندازیم: آیا می توانید نتیجه حاصل را به صورت قطعی بیان کنید آیا این پدیده یا آزمایش تصادفی است چرا همه حالت های ممکن را بنویسید )فضای نمونه ای را تشکیل دهید(. 4 تعداد این حالت ها را با استفاده از اصل ضرب به دست آورید. 5 جدول 6* یا *6 مربوط به این آزمایش را رسم کنید. مثال فرض کنید خانواده ای دارای 4 فرزند است و از جنسیت فرزندان این خانواده اطالع نداریم اگر ترتیب به دنیا آمدن اهمیت داشته باشد با توج ه به اصل ضرب تعداد همه حالت های ممکن برای فرزندان این خانواده عبارت است از = 4 ***. حالت )پ پ د پ( به معنی این است که فرزند اول یا بزرگ تر در این خانواده پسر و فرزند دوم دختر و فرزند سوم و چهارم پسر هستند. حالت )د پ پ پ( را شما توضیح دهید. پیشامدهای زیر را در نظر گرفته و جاهای خالی را پر کنید: الف پیشامد اینکه دقیقا یک دختر در این خانواده متولد شده باشد= A })د پ پ پ( و و و )پ پ پ د({= A ب پیشامد اینکه»حداکثر یک دختر در خانواده متولد شده باشد«= B })پ پ پ پ( و و و و )پ پ پ د({= B 4

144 فصل : 7 آمار و احتما ل ج پیشامد اینکه «تعداد فرزندان پسر و دختر برابر باشند«= C })پ پ د د( و و و و و )د د پ پ({= C د پیشامد اینکه «تعداد فرزندان پسر از دختر بیشتر باشد» = D })پ پ پ پ( و و و و )د پ پ پ({= D مثال در جعبه ای مهره قرمز متفاوت )با شماره های تا ( و مهره آبی متفاوت )با شماره های و ( وجود دارد. اگر مهره به تصادف از این جعبه خارج شود تعداد حالت های ممکن در 5 انتخاب مهره از بین 5 مهره عبارت است از... = زیرا ترتیب انتخاب مهم نیست. بنابر این فضای نمونه ای به صورت زیر نوشته می شود: S =}R R و R R R و B R R B Rو R و B R R و... و... و B B B و R B B R Bو B R { اگر پیشامدهای»حداقل مهره آبی انتخاب شود«و»حداکثر مهره آبی انتخاب شود«و»هر سه مهره قرمز انتخاب شود«را به ترتیب A و B و C بنامیم خواهیم داشت: A =}B R و R B R و و و و و R B B و R Bو B R { B =}B R و و و و و و R R R R { C =}R R R { B R B R R اگر S را مجموعه مرجع فرض کنیم متمم A یعنی A با کدامیک از مجموعه های Bیا C برابر است پیشامدها و برخی اعمال روی آنها A B اگر A و B پیشامدهایی در فضای نمونه ای S باشند در این صورت هر یک از پیشامدهای )B A( (B A) و )A-B( در فضای نمونه ای S به صورت های زیر توصیف می شوند: الف( اجتماع دو پیشامد: پیشامد )B A( وقتی رخ می دهد )اتفاق می افتد( که حداقل یکی از دو پیشامد رخ بدهد. )یا A رخ بدهد یا B رخ بدهد یا هر دو رخ بدهند.( ب( اشتراک دو پیشامد: پیشامد )B A( وقتی رخ می دهد که دو پیشامد با هم رخ بدهند )هم پیشامد A رخ بدهد و هم پیشامد B رخ بدهد( ج( تفاضل دو پیشامد: پیشامد )A-B( وقتی رخ می دهد که پیشامد A رخ بدهد و پیشامد B رخ ندهد. A A A B A B B B )الف( )ب( )ج( A-B 44

145 درس اول: احتمال یا اندازهگیری شانس A A S A B S د( متمم یک پیشامد: اگر A یک پیشامد از فضای نمونه ای S باشد متمم پیشامد A که با A )یا A( C نمایش داده می شود وقتی رخ می دهد که پیشامد A رخ ندهد بنابراین با توج ه به نمودار واضح است که A A = و A A = S تعریف: اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه ای S باشند و = B A در این صورت A و B را دو پیشامد ناسازگار می نامیم. در واقع دو پیشامد ناسازگار هیچگاه با هم رخ نمی دهند. تذکر: با توج ه به تعریف متمم یک پیشامد همواره هر پیشامد تصادفی مانند A ومتمم آن یعنی A دو پیشامد ناسازگار هستند. اگر B A و C سه پیشامد از فضای نمونه ای S باشند این سه پیشامد را دو به دو ناسازگار می نامیم هرگاه = B A و = C A و = C B باشد. مثال اگر یک تاس را بیاندازیم و پیشامدهای»روشدن عدد بزرگ تر از 4رو شدن عدد کوچک تر از «و»رو شدن عدد یا 4«را به ترتیب B A و C تعریف کنیم در این صورت همواره پیشامدهای B A و C دو به دو ناسازگارند و داریم: C=},4{ A=}5,6{, B=},{, )الف C =},,5,6{ A =}...4{, B =},4,5,6{, )ب مثال 4 کدامیک از شکل های زیر سه پیشامد دو به دو ناسازگار را نشان می دهد A B A B S S C C کار در کالس با توج ه به فعالیت ابتدای این درس )انداختن دو تاس( هر یک از پیشامدهای زیر را تشکیل داده و جاهای خالی را پرکنید. }..., ),({ = پیشامد آنکه هر دو تاس فرد باشند = A...{, )5,(, }),5( = پیشامد آنکه مجموع دو تاس 6 باشد = B...{, }),( = پیشامد آنکه تاس آبی مضرب بیاید = C الف پیشامد اینکه»هر دو تاس فرد بوده و مجموع آنها 6 باشد«)A B( = }),5(,...,... { n )A B( =... ب پیشامد آنکه»هر دو تاس فرد یا مجموع دو تاس 6 باشد«... =}),, ),(, ),(, ),5(, )5,(, ),4(, )4,(, ),(, ),5(, )5,(, )5,5({ 45

146 فصل : 7 آمار و احتما ل ج پیشامد آنکه )A-C( رخ بدهد یعنی»هر دو تاس فرد باشند ولی «پس داریم: A-C = }),(, ),(, ),5(,,, )5,5({ د پیشامد )C-B( را توصیف کرده و آن را تشکیل دهید. ه اگر پیشامد D را «مجموع دو تاس عدد 7 باشد«و پیشامد E را «هر دو تاس زوج باشند«تعریف کنیم آیا D و E ناسازگارند چرا تاسی را می اندازیم روی فضای نمونه ای حاصل پیشامدهای Aو B وC را طوری تعریف کنید که: الف A و B ناسازگار باشند. ب A وB وC دو به دو ناسازگار باشند. ج ( B )A و C ناسازگار باشند. n)s( =**... =.. مثال 5 یک تاس و سکه را با هم می اندازیم: الف فضای نمونه ای چند عضو دارد ب پیشامد آنکه»هردو سکه رو و تاس زوج باشد«را تشکیل دهید....{,...,,( ر, ر({ = A ج پیشامد آنکه»هر دو سکه پشت یا تاس عدد 5 بیاید«را تشکیل دهید.,6({ پ, پ(...,,...,,( پ, پ(,,5( پ, پ(,,5( ر, پ(,,5( پ, ر(,,5( ر, ر({ = B احتمال رخداد یک پیشامد )اندازه گیری شانس( میدانیم اگر S فضای نمونهای یک آزمایش تصادفی بوده و A S یک پیشامد در فضای n(a) S باشد احتمال رخداد پیشامد A یعنی P)A( که بهصورت = P(A) تعریف میشود n(s) عددی است حقیقی که P)A( 0. همچنین می دانیم P)A( هرچه قدر به نزدیک تر باشد شانس رخداد A بیشتر و هر چقدر به صفر نزدیک تر باشد شانس رخداد A کمتر است. شانس رخداد کمتر 0 در واقع در مسائل احتمال با محاسبه P)A( شانس رخداد پیشامد A را اندازه گیری می کنیم. قطعی شانس رخداد بیشتر غیر ممکن / 46

147 درس اول: احتمال یا اندازه گیری شانس 0 / / مثال فرض کنیم هر یک از اعداد دو رقمی را که با ارقام و و 4 و بدون تکرار رقم می توانیم بسازیم روی یک کارت نوشته و آنها را در کیسه ای قرار می دهیم و سپس یک کارت به تصادف از کیسه خارج می کنیم: اگر پیشامدهای A و B را به ترتیب»خارج شدن عدد زوج«و»خارج شدن عدد فرد«تعریف کنیم شانس رخداد کدام پیشامد بیشتر است S = }4,4,4,4,,{ A =}4,,,{, B = }, { n(a) 4 P(A) = = =, n(b) P(B) = = = n(s) 6 n(s) 6 واضح است که P)B( P)A( < پس شانس رخداد پیشامد A از شانس رخداد پیشامد B بیشتر است. )در این مثال تعداد عددهای زوج از تعداد عددهای فرد بیشتر است( مثال در جعبه ای 4 مهره آبی و مهره قرمز وجود دارد اگر از این جعبه سه مهره به تصادف خارج کنیم چقدر احتمال دارد: الف هر سه مهره آبی باشند. ب هر سه مهره همرنگ باشند. ج مهره همرنگ باشند. 7 7! = 5 = ) ( = n(s) (الف 4!! 4 ( ) P(A) = 4 = ) ( + ) ( (ب P(B) = = 5 7 یا هرسه مهره آبی یا هر سه قرمز 4 4 () () + () () + P(C) = 8 6 = = دومهره قرمز و یک مهره آبی یا دو آبی و یک قرمز )ج 47 فعالیت اگر S فضای نمونه ای متناهی و ناتهی برای یک آزمایش تصادفی بوده و A و B پیشامدهایی در این فضا باشند در این صورت: I(0 P)A( : زیرا n(a) A S 0 n(a) 0 n(s) n(s) 0 II( P) ( = 0, P)S( =

148 فصل : 7 آمار و احتما ل : زیرا n( ) P( ) = = =0, P(S) = = III( P)A B( = P)A( + P)B( - P)A B( B( : n)a B( = n)a( + n)b( - n)a زیرا تقسیم طرفین بر n)s( n(a B) n(s) = + - P)A B( = + - P)A B( آندری نیکوالویچ کولموگروف ریاضیدان اهل روسیه بود که دستآوردهای برجسته ای در زمینه های احتمال دارد. او برای اولین بار در سال 9 میالدی اصولی تحت عنوان اصول احتمال را معرفی نمود. برای هر دو پیشامد A و B از فضای نمونه ای S همواره تساوی زیر برقرار است: P)A B( = P)A( + P)B( - P)A B( اگر A و B دو پیشامد ناسازگار باشند این تساوی به صورت زیر نوشته می شود: P)A B( = P)A( + P)B( کار در کالس اگر A متمم پیشامد A در فضای نمونه ای S باشد )A و A ناسازگارند( نشان دهید. P)A( = - P)A ( S P(S) P(A A ) میدانیم = = A A = +P)A ( P)A A (= P)A( +P)A ( P)A( از طرفی P(A) = P(A ) = مثال اگر دو تاس را با هم بیاندازیم چقدر احتمال دارد: الف هر دو تاس زوج باشند )می دانیم در انداختن دو تاس 6= )n)s(=6 )6,6({..,..,..,,..,.., )4,(, ),4(, }),( = A پیشامد هر دو زوج n(a) 9 P(A) = = = n(s) 6 4 ب مجموع دو تاس 8 یا هر دو تاس فرد باشند B مجموع دو تاس = 8 B = }),5(, )5,(, ),6(, )6,(, )4,4({ C = هر دو تاس فرد A = }..,..,..,..,..,..,..,..,..{ 48

149 درس اول: احتمال یا اندازه گیری شانس 5 9 P)B C( = P)B( + P)C( - P)B C( = + = ))B C( = }),5(, )5,({ P)B C( = ( 6 ج مجموع دو تاس 7 یا هر دو زوج باشند D مجموع دو تاس = 7 D = }),6(, )6,(, ),5(, )5,(, ),4(, )4,({ A = هر دو تاس زوج n)a( =9, )A B( = P)D A( = P)D( + P)A( = + = د مجموع دو تاس کمتر از باشد میدانیم مجموع دو تاس از تا میتواند تغییر کند و چون تعداد حالتهایی که مجموع دو تاس کمتر از است زیاد و محاسبه آن طوالنی میباشد از پیشامد متمم استفاده میکنیم. پیشامد مجموع کمتر از =A )6,6({, )6,5(, })5,6( = A )پیشامد مجموع بزرگتر یا مساوی ) P(A ) = P(A) = = ه حاصلضرب دو عدد رو شده باشد A = }),6(,,, { n(a) P(A) = = n(s) مثال اگر حروف کلمه جهانگردی را به تصادف کنار هم قرار دهیم چقدر احتمال دارد: الف حرف "ی" آخر باشد. ب دو حرف "ی" و "د" کنار هم باشند. 49 ج با حرف "ج" شروع و به حرف "ی" ختم شود. حل: طبق مثال حل شده در فصل 6 داریم: )الف )ب 7! P(A) = = 8! 8! 7! P(B) = = 8! 8 ج ی )ج n(c) = ! P(C) = = 8! 56

150 فصل : 7 آمار و احتما ل تمرین هر یک از اعداد طبیعی و زوج کوچک تر از را روی یک کارت نوشته و یکی از این کارت ها را به تصادف برمی داریم: الف( فضای نمونه ای این آزمایش یا پدیده تصادفی را مشخص کنید. ب( چه تعداد پیشامد تصادفی روی این فضای نمونه ای می توان تعریف کرد ج( پیشامد A را که در آن»عدد روی کارت انتخاب شده بر 4 بخش پذیر باشد«را مشخص کنید. فرض کنید A و B و C سه پیشامد از فضای نمونه ای S باشند هر یک از عبارت های توصیفی زیر را با نمودار ون نمایش داده و هاشور بزنید. الف( پیشامدهای A و C رخ بدهند ولی B رخ ندهد. ب( فقط پیشامد B رخ بدهد ج( پیشامد B رخ بدهد و C رخ ندهد. هر یک از ارقام تا 8 را روی یک کارت نوشته و آنها را در یک کیسه قرار می دهیم و سپس یک کارت به تصادف از کیسه خارج می کنیم هر یک از پیشامدهای زیر را تعیین کنید: الف( فضای نمونه ای و پیشامد A که در آن»عدد روی کارت زوج باشد«ب( پیشامد B که در آن»عدد روی کارت اول باشد«ج( پیشامد C که در آن»عدد رو شده بزرگ تر از باشد«4 خانواده ای دارای فرزند است فضای نمونه ای مربوط به فرزندان این خانواده و پیشامد آنکه حداقل یکی از فرزندان دختر باشد را مشخص کنید. 5 سکه ای را می اندازیم اگر پشت بیاید یک تاس می اندازیم و اگر رو بیاید دو سک ه دیگر را می اندازیم: الف( فضای نمونه ای این آزمایش تصادفی را مشخص کنید. ب( پیشامد آنکه»تاس زوج بیاید«را مشخص کنید. ج( پیشامد آنکه»حداقل سکه رو بیاید«را مشخص کنید. 6 می خواهیم از بین دانش آموز کالس دهم رشته ریاضی و دانش آموز دهم رشته تجربی یک تیم دو نفره تنیس روی میز انتخاب کنیم اگر این عمل به تصادف صورت پذیرد چقدر احتمال دارد: الف( هر دو نفر از دانش آموزان کالس دهم ریاضی باشند. ب( هر دو نفر هم رشته باشند. ج( نفر از رشته ریاضی و نفر از رشته تجربی باشد 50

151 درس اول: احتمال یا اندازه گیری شانس B و %6 کارت نوع ) P(A) = 4 7 یک فروشگاه دو نوع کارت اعتباری A و B را می پذیرد اگر %4 از مشتریان کارت نوع ) A 00 و %5 هر دو کارت را همراه داشته باشند چقدر احتمال دارد مشتریان با در اختیار داشتن حداقل یکی از این دو کارت از این فروشگاه خرید کنند 8 اگر 7 نفر که دو نفر آنها برادر یکدیگرند به تصادف در یک ردیف قرار بگیرند چقدر احتمال دارد: الف( دو برادر کنار یکدیگر نباشند. ب( یکی از آنها در ابتدای ردیف و دیگری در انتهای ردیف قرار بگیرند. 9 اگر A و B دو پیشامد از فضای نمونه ای S باشند و A B ثابت کنید P(B). P(A) 5

152 فصل : 7 آمار و احتما ل درس دوم: مقدمه ای بر علم آمار جامعه و نمونه آیا تاکنون به نقش اعداد و ارقام در زندگی روزمره یک خانواده فکر کرده اید خانواده ای شامل پدر مادر و فرزندان را در نظر بگیرید. اعضای این خانواده در فصل بهار قصد رفتن به مسافرت تفریحی به یکی از شهرهای کشور را دارند. برای این منظور پدر و مادر خانواده با پیگیری اخبار هواشناسی به دنبال تعیین مناسب ترین زمان برای مسافرت خود هستند. در این اخبار کارشناس هواشناسی می گوید:»براساس اعداد و ارقام جمع آوری شده در مورد میزان دمای هوا رطوبت جوی و بارش باران طی ده روز گذشته و با استفاده از روش های مدل بندی هواشناسی پیش بینی می شود دمای هوا طی سه روز آینده 5 درجه گرم تر شده و بدون تغییر در میزان رطوبت جوی هوایی صاف آفتابی داشته باشیم.«آنها پس از شنیدن این گزارش تصمیم می گیرند سه روز آینده را برای مسافرت انتخاب کنند. بنابراین هرچه اطالعات دقیق تر و کامل تر بوده و از روش های مناسب تری برای پیش بینی استفاده شود تصمیم گیری های بهتری در خانواده اتخاذ می شود. تعریف آمار و علم آمار: آمار مجموعه ای از اعداد ارقام و اطالعات است در حالی که علم آمار مجموعه روش هایی شامل جمع آوری اعداد و ارقام سازماندهی و نمایش تحلیل و تفسیر داده ها و در نهایت نتیجه گیری قضاوت و پیش بینی مناسب در مورد پدیده ها و آزمایش های تصادفی است. 5

153 کاردرکالس در پیرامون خود مثال هایی از تصمیم گیری یا پیش بینی بر اساس اعداد و ارقام بیاورید در س دوم :مقدمه ا ی بر علم آ مار جامعه و نمو نه مراحل علم آمار را در شکل زیر کامل کنید تحلیل و تفسیر داده جمع آوری اعداد و ارقام بادرنظر گرفتن اخبار هوا شناسی مراحل علم آمار را در شکل زیر کامل کنید تحلیل و تفسیر آمار هوا شناسی سازمان دهی و نمایش آمار مربوط به دما هوا میزان رطوبت و بارش در ایستگاه های هوا شناسی تمرین تفاوت آمار و علم آمار در چیست مدیر کارخانه برای پیدا کردن تعدادکل المپ های معیوب در یک ماه آینده می خواهد یک تحقیق آماری انجام دهد. برای این منظور تعداد المپ های معیوب را در چند روز کاری به صورت زیر جمع آوری کرده است. روز کاری پنجم روز کاری چهارم روز کاری سوم روز کاری دوم روز کاری اول روزهای کاری تعداد المپ های معیوب کارخانه المپ سازی بر اساس داده های به دست آمده به سواالت زیر پاسخ دهید: الف( روند تغییر اعداد و ارقام در این تمرین نشان دهنده چه چیزی هستند ب( در این تمرین چه چیزی بهعنوان آمار محسوب میشود ج( بهترین تصمیمی که مدیر کارخانه بر اساس»علم آمار«می تواند بگیرد چیست ادامه خط تولید المپ ها توقف یا اصالح خط تولید المپ ها 5

154 فصل : 7 آمار و احتما ل کدام جمالت درست و کدام جمالت نادرست است: الف( اولین قدم در استفاده از»علم آمار«جمع آوری داده هاست... ب( پیش بینی و تصمیم گیری برای آینده نتیجه استفاده از»علم آمار«است... ج(»علم آمار«همان اعداد و ارقام است... 4 به شکل روبرو توجه کنید: آیا این شکل را می توان به اعداد و ارقام تبدیل کرد اعداد و ارقام آن چگونه اند برای پاسخ به این سؤاالت کاربرد علم آماردر مهندسی کامپیوتر را مطالعه کنید. کاربرد علم آمار در مهندسی کامپیوتر )پردازش تصویر( هر تصویر از تعداد زیادی مربع های کوچک تشکیل شده است. هر یک از این مربع های کوچک»پیکسل«نام دارند و به هر پیکسل می توان یک عدد را نسبت داد که بیانگر مقدار روشنایی آن پیکسل است. در واقع هر تصویر از یک جدول عددی تشکیل می شود که هریک از اعداد مقدار روشنایی هر پیکسل را نشان می دهند. جدول مربوط به هر تصویر را به راحتی می توان به دست آورد. در اینجا نکته حایز اهمیت کاربرد»پردازش تصویر«است.»پردازش تصویر«یکی از موضوعات بسیار مهم در مهندسی کامپیوتر محسوب می شود. رشد استفاده از پردازش تصویر در سیستم های»کنترل هوشمند سرعتخواندن اتوماتیک پالک خودرو در طرح های زوج و فردطرح ترافیک«و»ثبت تخلفات خودرو«در سال های اخیر مشهود بوده است. با استفاده از معیارهایی که در علم آمار وجود دارد می توان به بررسی کیفیت تصاویر پرداخت و تصاویر مخدوش و نامناسب را با تصاویر حقیقی شان مورد مقایسه و شناسایی قرار داد. کاربرد علم آمار در مهندسی کامپیوتر 5 جدول سمت راست جدول عددی شکل سمت چپ نامیده می شود. رنگ سبز را با عدد رنگ زرد را با عدد رنگ قرمز را با عدد و رنگ مشکی را با عدد صفر نشان دهیم. جدول عددی و شکل زیر را کامل کنید. 0 0 جدول عددی شکل 54

155 در س دوم :مقدمه ا ی بر علم آ مار جامعه و نمو نه جامعه و نمونه فعالیت الف مساله چاقی امروزه به عنوان یکی از مسائل مهم و اساسی در زمینه سالمت افراد محسوب می شود. برای اطالع بیشتر کاربرد علم آمار در علوم پزشکی را مطالعه کنید. کاربرد علم آمار در پزشکی )مساله چاقی( یکی از کاربردهای علم آمار در علوم پزشکی بررسی مساله چاقی است. برای این که میزان چاقی یک فرد را بسنجیم از معیاری تحت عنوان معیار»شاخص توده بدن«استفاده می کنیم. این معیار از تقسیم وزن افراد )W( برحسب کیلوگرم بر توان دوم قد افراد )H( برحسب متر یا به عبارت دیگر Wkg محاسبه شده و براساس آن نتایج زیر به ( H m) دستمیآید: طبقه بندی شاخص توده بدن کم وزن کمتر از 8/5 وزن طبیعی 8/5 تا 4/9 اضافه وزن 5 تا 9/9 چاقی درجه یک 0 تا 4/9 چاقی درجه دو 9/9-5 چاقی درجه سه بیشتر از 40 کاربرد علم آمار و احتمال در پزشکی براساس علم آمار با استفاده از مدل های آماری مناسب عوامل موثر بر شاخص توده بدنی شناسایی می شود. به عنوان مثال عواملی همچون»رژیم غذایی ناسالم«و»کم تحرکی«می توانند در باال رفتن این معیار و ایجاد بیماری چاقی موثر باشند. بنابراین امروزه با توجه به تغییر شیوه های زندگی به سوی ماشینی شدن و کم تحرکی و همچنین استفاده از خوراکی های آماده و فست فودها نیاز به استفاده از رژیم غذایی سالم عدم مصرف خوراکی های مضر و ورزش و فعالیت بدنی بسیار ضروری می باشد. در همین راستا ورزش صبحگاهی و ایجاد بوفه سالم در مدارس گامی کوچک اما موثر در جهت سالمت افراد می باشد. 55

156 فصل : 7 آمار و احتما ل مثال فرض کنید وزن شخصی 00 کیلوگرم و قدش متر و 47 سانتیمتر باشد. شاخص توده بدنی شخص بهصورت زیر است: 00 = / 0 = شاخص توده بدنی (/ 74) با مراجعه به جدول موجود در کاربرد علم آمار و احتمال در پزشکی در مورد چاق بودن این شخص به چه نتیجه ای می رسید در مورد چاق بودن خودتان و یا اعضای خانواده خود اظهار نظر کنید. ب به شکل زیر توجه کنید. این شکل افراد یک شهر را نشان می دهد که شامل افراد عادی و افراد چاق می باشد. با هدف به دست آوردن آمار افراد چاق فرض کنیم بخواهیم تعداد کل افراد چاق که در این شهر زندگی می کنند را بشماریم یا به عبارت دیگر سرشماری کنیم. افراد انتخابی از شهر به نظر شما این کار به سادگی انجام می شود همان گونه که احتماال حدس زده اید جمع آوری آمار تمام شهر کار آسانی نیست. به جای شمارش کل افراد این شهر همانگونه که در شکل زیر دیده می شود می توان تعدادی از افراد شهر را انتخاب کرد و براساس افراد انتخاب شده پیش بینی کرد چند درصد از افراد این شهر چاق هستند. به کمک نمونه باال پیش بینی کنید چند درصد افراد این شهر چاق هستند. همانطور که مالحظه می کنید این بار پاسخ به سواالت به سرعت با دقت بیشتر و آسان تر داده می شود و به راحتی درصد افراد چاق در زیر مجموعه انتخابی قابل محاسبه است. 56

157 در س دوم :مقدمه ا ی بر علم آ مار جامعه و نمو نه تعریف جامعه یا جمعیت مجموعه ی تمام افراد یا اشیایی که در مورد یک یا چند ویژگی آن ها تحقیق صورت گیرد جامعه یا جمعیت نامیده می شود و هریک از این افراد یا اشیاء را عضو جامعه می نامند. تعریف اندازه یا حجم جامعه تعداد اعضای جامعه را اندازه جامعه یا حجم جامعه گویند. به عنوان مثال دانش آموزان یک مدرسه می توانند یک جامعه باشند و هریک از دانش آموزان مدرسه عضو این جامعه هستند. تعریف نمونه بخشی از جامعه که برای مطالعه انتخاب شود را نمونه گویند و هریک از افراد یا اشیای که انتخاب شده را عضو نمونه گویند. تعریف اندازه یا حجم نمونه تعداد اعضای نمونه را اندازه نمونه یا حجم نمونه گویند. به عنوان مثال دانش آموزان یک کالس به عنوان یک نمونه از دانش آموزان مدرسه هستند و هریک از دانش آموزان کالس عضو نمونه هستند. کاردرکالس در نمودار روبه رو تعداد کل قطعات تولیدی دو کارخانه»الف«و»ب«مشخص شده است. برای شناسایی تعداد قطعات معیوب نمونه هایی از تعداد کل قطعات تولیدی انتخاب شده که تعداد آن ها در نمودار زیر ارایه شده است. با توجه به اعداد و ارقام موجود در نمودار جدول صفحه بعد را کامل کنید. نمودار مربوط به تعداد قطعات تولیدی تعداد کل قطعات تولیدی تعداد نمونه های انتخابی 57

158 فصل : 7 آمار و احتما ل اندازه نمونه نمونه اندازه جامعه عضو جامعه جامعه 000 قطعات تولیدی کارخانه الف قطعات تولیدی انتخابی کارخانه ب تمرین می خواهیم در مورد کیفیت محصوالت تولیدی یک کارخانه یک تحقیق انجام دهیم. برای این منظور از تعداد کل قطعات تولید شده در کارخانه که برابر با 0000 قطعه می باشد تعداد 00 قطعه انتخاب می شود. با توجه به اطالعات موجود جدول زیر را کامل کنید: ویژگی مورد بررسی اندازه نمونه اندازه جامعه جامعه کدام جمله درست و کدام جمله نادرست است: الف( اندازه جامعه کمتر از اندازه نمونه است... ب( اعضای نمونه همان اعضای جامعه هستند... ج( نمونه زیر مجموعه ای از جامعه است... در شکل زیر دانش آموزان یک مدرسه در صف صبحگاهی مشاهده می شوند. هر صف افقی نشان دهنده تعداد دانش آموزان یک کالس است. جامعه و اعضای جامعه را مشخص کنید و دو نمونه دلخواه از این جامعه را ارایه کنید. 58

159 در س سوم :متغیر و انواع آن درس سوم: متغیر و انواع آن فعالیت شکل روبرو محصوالت هلو یک مزرعه کشاورزی را نشان می دهد. میوه های هلوی این مزرعه را به عنوان اعضای جامعه در نظر بگیرید. یکی از میوه های هلو را انتخاب کنید. برای بررسی مرغوبیت این میوه می توان چند ویژگی از آن مانند وزن و کیفیت آن را مورد توجه قرار داد. واضح است که به کمک یک ترازوی دیجیتالی وزن آن به راحتی قابل اندازه گیری است. الف برای اندازه گیری کیفیت میوه هلو چه باید کرد آیا به کمک ابزار اندازه گیری می توان به این سوال پاسخ داد ب آیا ترازو پاسخ این سوال را هم می دهد ج کشاورز چگونه می تواند کیفیت میوه هلو تولیدی خود را باال ببرد برای پاسخ به سؤاالت»الف«و»ب«باید گفت که هیچ ترازو و یا وسیله ای که بتواند میزان کیفیت میوه هلو را اندازه گیری کند وجود ندارد. با این حال کشاورزان با توجه به کیفیت میوه هلو این میوه را به صورت»درجه یکدرجه دو«و»درجه سه«به بازار عرضه می کنند. به عبارت بهتر عدد یک را به میوه های هلوی بسیار مرغوب و درشت عدد دو را به میوه های هلوی متوسط و عدد سه را به میوه های هلوی ریز نسبت می دهند. برای پاسخ به سوال ج کاربرد علم آمار در مهندسی کشاورزی را مطالعه کنید. مزرعه هلو کاربرد علم آمار در مهندسی کشاورزی)طراحی و نحوه تولید محصوالت( علم آمار در مهندسی کشاورزی کاربرد بسیار زیادی دارد. یک مهندس کشاورزی همواره عالقمند است تا کمیت و کیفیت تولید محصوالتش به بیشترین حد ممکن برسد. برای این منظور مهندس کشاورزی از انواع کودها مانند نیترات آمونیوم فسفر و غیره استفاده می کند. اما سوالی که در اینجا مطرح می شود آن است که چه میزان کود می بایست استفاده شود تا کمیت و کیفیت تولید محصوالت آن به بیشترین مقدار برسد اینجاست که علم آمار با طراحی آزمایش هایی به این سوال پاسخ می دهد. بدین منظور قطعات مختلفی از زمین به طوری که از نظر رطوبت حاصلخیزی خاک نور و غیره کامال یکسان باشند در نظر گرفته می شود. سپس به مطالعه درصدهای مختلف کودهای مورد نظر در این قطعات زمین پرداخته می شود. به عبارت دیگر علم آمار در تعیین عوامل موثر مانند کودهای مورد استفاده در زمین کشاورزی و سطوحی از عوامل مانند درصدهایی از میزان استفاده کودها برای رسیدن به تولیدات بیشتر کشاورزی به مهندسان کشاورزی کمک می کند. 59

160 فصل : 7 آمار و احتما ل تعریف متغیر و مقدار متغیر متغیر یک ویژگی از اعضای یک جامعه است که مورد بررسی و مطالعه قرار می گیرد و معموال از یک عضو به عضو دیگر تغییر می کند و عددی که به ویژگی یک عضو نسبت داده می شود را مقدار متغیر می گویند. به عنوان مثال وزن و کیفیت میوه هلو به عنوان دو متغیر مربوط به میوه هلو است و مقادیر آن در جدول زیر آمده است: مقدار متغیر متغیر مربوط به میوه هلو 00 گرم وزن هلو درجه یک درجه دو درجه سه کیفیت هلو کاردرکالس شکل روبرو نشان دهنده یک خودرو است برخی از ویژگی های این خودرو سرعت خودرو میزان بنزین مصرفی رنگ خودرو در شکل مشخص شده است.»سرعت خودرو«و»میزان بنزین مصرفی«قابل اندازه گیری است. به عنوان مثال حداکثر سرعت این خودرو در جاده ها 0 کیلومتر برساعت است به عبارت دیگر مقدار متغیر»سرعت خودرو«برابر با 0 کیلومتر بر ساعت است. همچنین اگر خودرویی به عنوان مثال برای هر 00 کیلومتر 0 لیتر بنزین مصرف کند بنابراین مقدار متغیر»میزان مصرف خودرو«برابر با 0 لیتر برای هر 00 کیلومتر است. ولی در این مثال رنگ خودرو قابل اندازه گیری نیست می توان انواع رنگ های مشکی سفید و غیره را به عنوان مقادیر متغیر»رنگ خودرو«در نظر گرفت. به نظر شما چه متغیرهای دیگر در این خودرو می توان معرفی نمود در سطرهای خالی مقدار هریک از متغیرهای معرفی شده جدید را بیان کنید. متغیر های یک خودرو مقدار متغیر حداکثر سرعت مجاز خودرو در جاده 0 میزان بنزین مصرفی برای هر 00 کیلومتر 0 رنگ خودرو سفید 60

161 در س سوم :متغیر و انواع آن تمرین جدول زیر متغیرهایی که در مورد یک دانش آموز مطالعه شده است را نشان می دهد. مقدار این متغیرها را در مورد خودتان در جدول زیر بنویسید. متغیرهای یک دانش آموز مقدار متغیر سن دانش آموز نمره ریاضی نهم دانش آموز گروه خونی A( )AB O B قد دانش آموز وزن دانش آموز در یک کارخانه کارگران مشغول کار هستند. مهندس این کارخانه این کارگران را بر اساس مهارت به صورت بسیار ماهر ماهر متوسط و ضعیف درجه بندی کرده است. متغیر و مقدار متغیر را برای کارگران بنویسید. با توجه به مطالب مربوط به کاربرد علم آمار در محیط زیست متغیرها و مقدار متغیرهای مربوط به یوزپلنگ ایرانی را در جدول بنویسید. متغیر طول بدن مقدارمتغیر / متر کاربرد علم آمار و احتمال در محیط زیست علم آمار و احتمال در محیط زیست کاربرد دارد. به عنوان مثال با استفاده از علم آمار می توان به شناسایی و شناخت عوامل موثر بر زیستگاه های مطلوب حیوانات در حال انقراض اشاره نمود. این موضوع مدیران محیط زیست را در مدیریت و حفاظت از این زیستگاه های یاری می کند. یکی از این حیوانات در حال انقراض»یوزپلنگ ایرانی«است. یوزپلنگ ایرانی یک زیرگونه به شد ت در معرض خطر انقراض از یوزپلنگ است که اکنون تنها چند ده قالده از آن در ایران یافت می شود.این جانور در مناطق بیابانی در سطح منطقه زندگی می کرد و سال هاست که نسل آن در معرض نابودی کلی قرار دارد. یوزپلنگ از خانواده گربه سانان به شمار می آید اما به دلیل داشتن دست و پایی بلند بدنی کشیده و باریک و سینه های فراخ تا حدود زیادی به سگ های کاربرد علم آمار و احتمال درمحیط زیست تازی شبیه است. در میان گربه سانان یوز با داشتن ارتفاع شانه ای برابر با ۳۸ ۶۷ سانتیمتر و وزنی میان ۲۷ 40 کیلوگرم از جمله گربه سانان کوچک جثه به شمار می رود. اندازه طول بدن به / متر می رسد و طول دم نیز میان ۴۸ ۶۶ سانتیمتر ماده های این جانور اندکی کوچکتر و الغرتر از نرها هستند. سر این جانوران به نسبت کوچک است. 6

162 فصل : 7 آمار و احتما ل متغیرهای کمی و کیفی فعالیت در یک شهر با افراد مختلفی رو به رو می شویم و از آن ها سؤاالتی می پرسیم. آن ها به صورت زیر پاسخ داده اند. به عنوان مثال: از یک آقا و خانم می پرسیم از مادر یک خانواده می پرسیم از همان خانم و آقا می پرسیم و سؤال آخر گروه خونی خود»چقدر از آشپزی کردن لذت می برید چند فرزند دارید «قد شما چند سانتی متر است را بگویید 70 cm 8.5 cm O A حال به سؤاالت زیر پاسخ دهید: با توجه به شکلهای مورد نظر پاسخ های افراد را در جدول زیر قرار داده و آن را کامل کنید. نام متغیر - تعداد فرزندان قد افراد گروه خونی میزان لذت بردن از آشپزی متغیر باتوجه به متغیرهای بیان شده کدام متغیرها قابل اندازه گیری هستند و کدام نیستند به جای عالمت سوال نام متغیر مورد نظر را بنویسید. متغیرهایی که قابل اندازهگیری نیستند متغیرهایی که قابل اندازهگیری هستند 6

163 در س سوم :متغیر و انواع آن تعریف متغیرهای کمی متغیرهایی که قابل اندازه گیری هستند را»متغیرهای کمی«گویند. به عنوان مثال تعداد فرزندان خانواده و وزن افراد متغیرهای کمی هستند. تعریف متغیرهای کیفی متغیرهایی که قابل اندازه گیری نیستند را»متغیرهای کیفی«گویند. به عنوان مثال گروه خونی افراد و پاسخ سؤال»میزان لذت از آشپزی«متغیرهای کیفی هستند. کاردرکالس با توجه به شکل ها جمالت را کامل کنید: در شکل الف تعداد مسافران یک قطار یک متغیر کمی است. در شکل ب اقوام ایرانی یک متغیر...است. در شکل ج قد فرد یک متغیر...است. در شکل د جنسیت افراد یک متغیر...است. )الف( نوع متغیرهای زیر را مشخص کنید: الف( انواع هواپیما )مسافربری باربری جنگنده( کمی کیفی ب( مدتی زمانی که طول می کشد از خانه به مدرسه برسید کمی کیفی ج( رنگ چشم )میشی آبی قهوه ای ) کمی کیفی )ب( 8/5 cm جدول زیر را کامل کنید. سوال )متغیر( پاسخ ( مقدار متغیر( نوع متغیر رنگ موی شما چه رنگی است مشکی قهوه ای طالیی سفید قرمز وزن شما چه عددی است 60 تا 70 کیلوگرم )ج( چه قدر از دیدن بازی فوتبال لذت می برید بسیار زیاد زیاد متوسط کم بسیار کم لذت نمی برم 6 )د(

164 فصل : 7 آمار و احتما ل متغیرهای پیوسته و گسسته فعالیت همانگونه که در فعالیت قبل مطرح شد پاسخ دو سوال زیر متغیرهایی ازنوع متغیر کمی هستند. از مادر یک خانواده می پرسیم چند فرزند دارید برخی از جواب های ممکن: و 0... قد شما چند سانتی متر است برخی از جواب های ممکن: 50 سانتی متر تا 70 سانتی متر 59 سانتی متر 60/5 سانتی متر و... فرض کنید کمترین و بیشترین وزن در جامعه دانش آموزان پایه دهم کشور به ترتیب 46 کیلوگرم و 75 کیلوگرم است. در این صورت وزن تمام دانش آموزان کشور در بازه ]46,75[ قرار می گیرد. آیا هر عددی از این بازه می تواند وزن یک دانش آموز باشد 4 فرض کنید کمترین و بیشترین تعداد فرزندان یک خانواده در کشور بهترتیب 0 و 0 باشد. در این صورت تعداد فرزندان هر خانواده,0 [ خواهد بود. آیا هر عددی از این بازه میتواند نشاندهنده تعداد فرزندان یک خانواده باشد در این کشور عددی از بازه ] 0 5 متغیرهای مطرح شده در قسمت های و 4 کمی هستند و یا کیفی 6 چه تفاوتی در متغیرهای مطرح شده در قسمت های و 4 وجود دارد که جواب های مربوط به قسمت های و 4 متفاوت است 7 با توجه به قسمت های و 4 در شکل زیر به جای عالمت سؤال پاسخ مناسب قرار دهید. متغیر متغیر کیفی کمی متغیری که اگر دو مقدار a و b را اختیار کند آنگاه مقداری بین آنها وجود دارد که نمی تواند اختیار کند. متغیری که اگر دو مقدار a و b را بتواند اختیار کند آنگاه هر مقداری بین آنها را نیز بتواند اختیار کند. 64

165 انواع متغیر کمی: ( متغیر پیوسته ( متغیر گسسته در س سوم :متغیر و انواع آن تعریف متغیر پیوسته متغیری است که اگر دو مقدار a و b را بتوانند اختیار کنند هر مقدار بین آن ها را نیز بتوانند اختیار کنند. به عبارت دیگر مجموعه مقادیر آن در بازه )b,a( قرار می گیرد. به عنوان مثال وزن یک دانش آموز می تواند 46 کیلو گرم 47 کیلو گرم یا هر عددی بین این دو رقم باشد. تعریف متغیر گسسته متغیر گسسته متغیری است که پیوسته نباشد. به عنوان مثال تعداد فرزندان یک خانواده متغیر گسسته است. کار درکالس با پر کردن جاهای خالی پیوسته یا گسسته بودن متغیرهای کمی زیر را مشخص کنید. تعداد سرنشینان مجاز در این خودرو یک متغیر...است و این تعداد برابر با... است. میزان مصرف بنزین این خودرو یک متغیر... و مقدار آن برای هر 00 کیلومتر...است. سرعت خودرو یک متغیر پیوسته است. مقدار آن متغیر 0 کیلومتر بر ساعت است. تمرین انوع متغیرهای زیر را مشخص کنید: الف( تعداد ماهیهای یک دریا ب( مدتی زمانی طول می کشد از خانه به مدرسه برسید ج( وزن افراد د( تعداد دانش آموزان یک مدرسه گسسته گسسته گسسته گسسته پیوسته پیوسته پیوسته پیوسته 65

166 فصل : 7 آمار و احتمال در جدول زیر پاسخ شما چه نوع متغیری )گسسته یا پیوسته( است نوع متغیر پاسخ )مقدار متغیر( سوال )متغیر( عددی بین 7 تا 85 سانتی متر قد شما چه عددی است 80/5 کیلوگرم وزن شما چه عددی است... 0 تعداد دوستان شما چند نفر است و... کیلوگرم وزن دوستتان چه عددی است 0 /5 و... شاخص توده بدنی خانواده شما چه عددی است عددی بین 8 تا 67 سانتیمتر ارتفاع شانه یوزپلنگ ایرانی فعالیت به سوال های زیر توجه کنید: سوال: از یک آقا و خانم می پرسیم چقدر از آشپزی کردن لذت می بری برخی از جواب های ممکن: خیلی زیاد زیاد متوسط کم خیلی کم سوال: گروه خونی خود را بگویید برخی از جواب های ممکن: گروه خونی O AB B A همانطور که مالحظه می کنید در پاسخ به سؤال اول یک ترتیب طبیعی وجود دارد همانند شکل الف در صورتی که در پاسخ به سؤال دوم نمی توان ترتیب طبیعی قایل شد شکل ب را مالحظه کنید. در شکل زیر به جای عالمت سوال پاسخ مناسب را قرار دهید. خیلی زیاد زیاد متوسط کم خیلی کم شکل الف A B AB O متغیر کیفی کمی شکل ب بدون ترتیب دارای ترتیب طبیعی 66

167 در س سوم :متغیر و انواع آن متغیرهای ترتیبی و اسمی انواع متغیر کیفی: همان گونه که می دانیم متغیر کیفی قابل اندازه گیری نیستند این متغیرها به دو دسته زیر تقسیم می شود ( متغیر ترتیبی ( متغیر اسمی )غیر ترتیبی( تعریف متغیرترتیبی متغیر کیفی است که در آن نوعی ترتیب طبیعی وجود داشته باشد. به عنوان مثال سطح تحصیالت )دیپلم فوق دیپلم کارشناسی کارشناسی ارشد و دکتری( تعریف متغیر اسمی ( غیر ترتیبی(: متغیر کیفی که ترتیبی نیست. مانند جنسیت )زن و مرد( انواع متغیرها در یک نگاه: متغیر کیفی کیفی ترتیبی اسمی پیوسته گسسته کار درکالس با توجه به شکل های زیر جمالت زیر را کامل کنید: در شکل الف جنسیت افراد یک متغیر اسمی است و مقادیر آن زن و مرد است. در شکل ب مقام هایی که یک ورزشکار در مسابقه می آورد یک متغیر... است و مقادیر آن... است. در شکل ج میزان عالقه شما در مورد خورش قیمه سوال شده است که یک متغیر... است و مقادیر آن... است. مقام سوم الف مقام اول ب مقام دوم بسیار زیاد زیاد متوسط کم بسیار کم 67 ج

168 فصل : 7 آمار و احتما ل تمرین با پر کردن جاهای خالی اسمی یا ترتیبی بودن متغیرهای زیر را مشخص کنید. ترتیبی اسمی الف( مراحل رشد یک انسان )نوزاد کودک نونهال نوجوان جوان میان سال کهنسال( ترتیبی اسمی ب( نژاد افراد )سفید پوست زرد پوست سیاه پوست( ترتیبی اسمی ج( رنگ موی افراد )مشکی قهوه ای طالیی( ترتیبی اسمی د( کیفیت میوه هلو )درجه درجه درجه ( نوع متغیرها را در شکل زیر دسته بندی کنید. متغیر میزان بارندگی برحسب سانتی متر در یک شهر نوع بارندگی )باران برف( تعداد شهرهایی که در یک روز هوای آفتابی دارند 4 میزان دمای هوا 5 شدت آلودگی هوا)زیاد متوسط کم( 6 انواع وضعیت هوا )آفتابی ابری بارانی برفی( 7 شدت بارندگی )زیاد متوسط کم( نوع متغیر متغیر کیفی کمی ترتیبی اسمی پیوسته گسسته 68

169 در س سوم :متغیر و انواع آن جدول زیر متغیرهای دانشآموزان را نشان میدهد انواع متغیرها از نظر کمی کیفی گسسته پیوسته ترتیبی و اسمی را در جدول زیر کامل کنید. متغیرهای دانش آموزان متغیر کمی متغیر کیفی متغیر گسسته متغیر پیوسته متغیر ترتیبی متغیر اسمی سن دانشآموزان نمره ریاضی نهم دانشآموزان جنسیت دانش آموزان )دختر و پسر( قد دانش آموزان وزن دانش آموزان میزان هوش دانش آموزان (هوش باال متوسط پایین) میزان رضایت دانشآموزان در مدرسه (بسیار متوسط ضعیف) شاخص توده بدنی دانشآموزان 4 فرض کنید وزن شخصی 95 کیلوگرم و قد او /60 سانتیمتر باشد. الف( شاخص توده بدنی این شخص را حساب کنید. ب( شاخص توده بدنی شخص چه نوع متغیری از نظر کمی کیفی گسسته پیوسسته اسمی و ترتیبی است 5 جدول سمت راست جدول عددی شکل سمت چپ است. اگر رنگ سبز را با عدد رنگ سفید را با عدد و رنگ قرمز را با عدد نشان دهیم جدول عددی و شکل زیر را کامل کنید. این شکل چه چیزی است جدول عددی جامعه و نمونه را تعریف کرده و برای هر یک مثال بزنید. 7 شکل زیر یک جامعه فرضی را نشان می دهد که اعضای آن را با شماره های تا 0 مشخص کرده ایم. همچنین اعضای نمونه با خط سبز رنگ انتخاب شده اند. به سؤاالت زیر پاسخ دهید. الف( اندازه جامعه چه عددی است ب( اندازه نمونه انتخابی چه عددی است ج( اعضای نمونه انتخابی را بنویسید. شکل

170 فصل : 7 آمار و احتما ل 8 جدول زیر را کامل کنید. متغیر مقدار متغیر وزن یک هلو کیفیت یک هلو اندازه طول بدن یوزپلنگ ایرانی اقوام ایرانی وضعیت آب و هوا دمای هوا در قله فشار هوا در قله کوه کوه شیراز شهرستان سامان استان چهارمحال و بختیاری 70

171 سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات دانلود نمونه سوالات امتحانات رياضي نمونه سوالات و پاسخنامه كنكور دانلود نرم افزارهاي رياضيات و... کانال سایت ریاضی سرا در تلگرام: